¿Son los valores singulares de las matrices en $SL_2(Z)$ denso en $(0,1)$ ?

Question

Dada una $2 \times 2$ matriz real $A$ denotamos por $\sigma_1(A) \le \sigma_2(A)$ sus valores singulares. Si $\det A=1$ entonces $0<\sigma_1(A)\le 1$ .

Definir $X=\{\sigma_1(A) \, | \, A \in SL_2(Z)\}$ . Es $X$ denso en $(0,1]$ ?

Sé que $1 \in X$ (ya que $A=\text{Id} \in SL_2(Z)$ ), y que $0 \in \overline X$ . De hecho, considere $ A_n=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\ n & 1 \end{pmatrix}. $ Tenemos $\lim_{n \to \infty}\sigma_2(A_n)=\infty$ Así que $\lim_{n \to \infty}\sigma_1(A_n)=0$ .

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Aquí $SL_2(Z)$ es el grupo de $2 \times 2$ matrices con valores enteros y determinante $1$ .

Answer 1

No, los valores singulares al cuadrado son las raíces de $X^2-Tr(AA^\top)X+1$ donde $Tr(AA^\top)$ es un número entero, y dado $r\ne 0$ sólo hay un número finito de valores de $n$ tal que $|r^2-nr+1|\le 1$ por lo que sólo hay un número finito de valores de $n$ tal que $\exists s, s^2-ns+1=0$ y $|s-r|< \frac{r}{2}$ .

De ahí que para $\sqrt{r}\ne 0$ para estar en el cierre del conjunto de valores singulares de todo $SL_2(\Bbb{Z})$ matrices entonces $r$ debe ser una raíz de $X^2-nX+1$ para algunos $n$ .