Si $\gcd(a, b) = 1$ entonces $\gcd(ab, c) = \gcd(a, c) \cdot\gcd(b, c)$

Question

¿Cómo puedo demostrar que si $\gcd(a, b) = 1$ entonces $\gcd(ab, c) = \gcd(a, c) \times \gcd(b, c)$ ?

Por eea existe $ax+by=1$ de $\gcd(a,b)=1$ por lo que a y be son coprimas también existe $dk=a$ y $dj= b$ donde $d=\gcd(a,b)=1$ esta es toda la información que he recogido de la pregunta pero no sé cómo enfocarla y resolverla. ¿Alguien puede ayudarme a explicar cómo llegar a la respuesta? Gracias.

Answer 1

Sin usar primos. Demostramos que $(ab,c) \mid (a,c)(b,c)$ y que $(a,c)(b,c)\mid (ab,c) $ .

Tenemos $ax+by=1$ multiplicando por $c$ tenemos $acx+bcy=c$

Ahora $$(a,c)(b,c)\left[\frac{a}{(a,c)}\frac{c}{(b,c)}x+\frac{b}{(b,c)}\frac{c}{(a,c)}y\right]=c$$ donde por supuesto $\frac{a}{(a,c)}$ etc. son números enteros. Así que $(a,c)(b,c)\mid c$ . Está claro que $(a,c)(b,c)\mid ab$ desde $(a,c)\mid a$ y $(b,c)\mid b$ . Y por lo tanto tenemos $(a,c)(b,c)\mid (ab,c) $ .

Para mostrar la otra dirección, observe que hay $p,q,r,s$ tal que

$$ap+qc=(a,c)$$ y $$br+cs=(b,c)$$ así $$(a,c)(b,c)=abpr +(aps+brq+qsc)c$$ y esta última es divisible por $(ab,c)$

Answer 2

Sugerencia $\ $ Por leyes básicas de gcd (asociativo, conmutativo, distributivo)

$\quad (a,c)(b,c) = (ab,ac,bc,cc) = (ab,\color{#c00}{(a,b,c)}c) = (ab,c),\,\ $ por $\ \,(a,b)=1\,\Rightarrow\,\color{#c00}{(a,b,c)=1}$