Conexión en el haz de vectores : Demostrar que $(\nabla_X Y)(p)=0$ si $X(p)=0$ .

Question

Recientemente he intentado aprender más sobre la conexión utilizando el libro de Jeffrey Lee Manifolds and Differential Geometry (ya había leído antes el libro de John Lee Riemannian Manifolds). Después de varias páginas en el libro de Jeffrey Lee (proposición 12.5), me di cuenta de que tal vez faltaba algún paso en la demostración de la conexión en el lema 4.2 del libro de John Lee sobre las Múltiples Riemannianas. Y creo que es bastante confuso para un principiante como yo. Aquí está el lema 4.2 en el libro Riemannian Manifold de John Lee:

$\textbf{Lemma}.$ Dejemos que $E \rightarrow M$ sea un haz vectorial sobre $M$ y $\nabla : \mathfrak{X}(M) \times \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(E)$ sea una conexión en $E$ . Para cualquier $X \in \mathfrak{X}(M)$ y $Y \in \Gamma(E)$ y $p \in M$ el valor $(\nabla_XY)(p)$ sólo depende del valor de $X$ en $p$ y el valor de $Y$ en los alrededores de $p$ .

La segunda reclamación está bien. Lo que me preocupa es la primera reclamación. Es decir $(\nabla_X Y)(p)$ depende de $X$ en $p$ . Esta es la prueba del libro :

$\textbf{Proof}$ Por linealidad basta con demostrar que $(\nabla_XY)(p)=0$ siempre que $X_p=0$ . Elija una vecindad de coordenadas de $p$ y escribir $X=X^i \partial_i$ en coordenadas en $U$ con $X^i(p)=0$ entonces $$ (\nabla_XY)(p) = (\nabla_{X^i\partial_i} Y)(p) = X^i(p) (\nabla_{\partial_i}Y)(p) = 0 . (\nabla_{\partial_i}Y)(p) = 0 $$ Para la primera igualdad, utilizamos el lema $4.1$ que nos permite evaluar $(\nabla_XY)(p)$ calculando localmente en $U$ el segundo , utilizamos la linealidad de $\nabla$ en $C^{\infty}(M)$ en $X$ . $\qquad$ $\square$

Lo que me molesta es que el argumento que implica el lema 4.1 que es que podemos evaluar $(\nabla_XY)(p)$ localmente en $U$ . El lema 4.1 dice que $(\nabla_XY)(p)$ sólo depende del valor de $X$ en una vecindad arbitrariamente pequeña de $p$ . No veo por qué esto implica que podamos evaluar $(\nabla_XY)(p)$ localmente en $U$ . Para cualquier forma, el primer argumento para $\nabla$ debe ser una sección global $X \in \mathfrak{X}(M)$ , por lo que no podemos reemplazar $X$ en $(\nabla_XY)(p)$ con $X=X^i \partial_i$ porque $X=X^i \partial_i$ es sólo una expresión local de $X$ en $U$ . Esto es diferente del enfoque de Jeffrey Lee que es por definición de $\textbf{natural covariant derivatives}$ primero antes de demostrar la afirmación anterior, que me pareció un poco más clara.

¿Alguien puede ayudarme con esto? Cualquier ayuda será apreciada. Gracias.

Answer 1

Si tu problema es que quieres una sección global, pero estás de acuerdo en que sólo depende de los valores localmente, entonces puedes tomar tu campo vectorial $X=X^i \partial_i$ definido en un barrio específico $U$ , tómese un conjunto compacto con interior no vacío $K \subset U$ y, a continuación, ampliar $X$ a un campo vectorial $\widetilde{X}$ en $M$ que coincide con $X$ en $K$ (multiplicando con una función de bump).

Aclarando:

Cualquiera que sea la definición de $\nabla$ o campos vectoriales que está utilizando, debe ser capaz de demostrar que dado $V \subset M$ conjunto abierto, existe una conexión $\nabla^V$ en $V$ satisfaciendo $$(\nabla^V_X Y)(q)=(\nabla_{\widetilde{X}} \widetilde{Y})(q),$$ donde $q \in V$ y $\widetilde{X},\widetilde{Y}$ son extensiones de $X,Y$ respectivamente. Esto puede verse en la sección sobre conexiones afines de Helgason, por ejemplo, y es esencialmente lo que dice Lee cuando afirma que se puede evaluar una conexión localmente.

Por lo tanto, uniendo esto a mi afirmación anterior, debemos tener $$(\nabla^{\mathrm{int}(K)}_{X|_{\mathrm{int}(K)}}Y|_{\mathrm{int}(K)})(q)=(\nabla_XY)(q),$$ y puedes realizar el cálculo realizado en tu pregunta en el lado izquierdo.

Answer 2

Creo que puedo ofrecer una alternativa evitando la construcción de una nueva conexión local en el nbhd de un punto (como explica @Aloizio más arriba). Se consigue extendiendo $X^i$ y $\partial_i$ por separado a $M$ para que las restricciones de los mismos en $U$ es igual a $X$ .

$\textbf{Construction :}$

Dejemos que $p \in M$ y $(U,x)$ es un gráfico local s.t $p \in U$ . Sea $\{\partial_i\}$ sea el marco local en $U$ . La representación de $X \in \mathfrak{X}(M)$ en $U$ es $$X=X^i \partial_i, \quad \text{with} \quad X^i : U \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{and} \quad \partial_i : U \rightarrow TM$$

Elige un barrio $V$ de $p$ s.t $$p \in V \subset \bar{V} \subset U$$

Al restringir cada $X^i$ y $\partial_i$ a $\bar{V}$ tenemos una sección local $X|_{\bar{V}} = X^i|_{\bar{V}} \partial_i|_{\bar{V}} $ en $\bar{V}$ . Con

$$X^i|_{\bar{V}} : \bar{V} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{and} \quad \partial_i|_{\bar{V}} : \bar{V}\rightarrow TM$$

Y por el argumento de la partición de la unidad, podemos encontrar su extensión en $M$ s.t están de acuerdo con el original en $\bar{V}$ y su apoyo se encuentran en el interior $U$ . Denotemos estas extensiones de $X^i|_{\bar{V}}$ y $\partial_i|_{\bar{V}}$ por $\widetilde{X}^i$ y $E_i$ respectivamente. Es decir, tenemos $$ \widetilde{X}^i : M \rightarrow \mathbb{R}, \quad s.t \quad \widetilde{X}^i|_{\bar{V}} = X^i|_{\bar{V}}, \qquad \text{supp} (\widetilde{X}^i) \subset U $$ $$ E_i : M \rightarrow TM, \quad s.t \quad E_i|_{\bar{V}}= \partial_i|_{\bar{V}}, \qquad \text{supp}(E_i) \subset U $$ Para un arreglo $i$ Ahora tenemos una nueva sección global $$ \widetilde{X}^i E_i : M \rightarrow TM \quad \text{(no summation)}. $$

Después de hacer esto para todos $i=1,\dots, n$ , los sumamos y tenemos $$\widetilde{X} := \widetilde{X}^1 E_1 + \cdots + \widetilde{X}^n E_n, $$ que es obviamente la extensión de $X=X^i\partial_i$ en $V$ . Por el lema 4.1 y la linealidad sobre $X$ , $$ (\nabla_X Y)(p) = (\nabla_{\widetilde{X}} Y)(p) = (\nabla_{\widetilde{X}^1 E_1 + \cdots + \widetilde{X}^n E_n} Y)(p) = \sum_{i=1}^n \widetilde{X}^i(p) (\nabla_{E_i} Y)(p) $$ y por la construcción, $\widetilde{X}^i(p) = X^i(p) = 0$ . Por lo tanto, $(\nabla_X Y)(p)=0$ .