Evaluar el general infinito de la raíz cuadrada

Question

$$x = \sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n}} \cdots}$$

Veo que:

$$x = \sqrt{nx}$$

$$x^2 -nx = 0$$

Ellos:

$$x(x - n) = 0 \implies x \in \{0, n\}$$

¿Cómo debo rechazar la $x = 0$ solución? (en cualquier nivel de la prueba es buena, análisis, cálculo, etc...)

Answer 1

Tenemos $$x = n^{1/2}n^{1/4}n^{1/8}\cdots = n^{\sum_{k = 1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k} = n^{\frac{1/2}{1 - 1/2}} = n$$

Answer 2

Definir

$$x_m:=\overbrace{\sqrt{n\sqrt {n\ldots\sqrt n}}}^{m\;\text{times}}\;\;,\;\;\;\;m,n\in\Bbb N$$

entonces

$$x_m\le x_{m+1}\iff x_m\le\sqrt{nx_m}\iff x_m^2\le nx_m\iff x_m(x_m-n)\le0\iff x_m\le n$$

La última desigualdad puede ser demostrado por inducción:

$$x_1=\sqrt n\le n\;\;\;\color{green}\checkmark$$

$$x_m=\sqrt{nx_{m-1}}\stackrel{\text{Ind. Hyp.}}\le\sqrt{nn}=n$$

Tenemos así que la secuencia de $\;\{x_m\}_{m\in\Bbb N}\;$ es monótona creciente , y por lo tanto converge (en el sentido amplio) a su supremum $\;\alpha\;$ (y ya se puede olvidar de cero), que es finito por lo anterior, y a continuación, utilizando la aritmética de los límites:

$$\alpha\xleftarrow[m\to\infty]{} x_m=\sqrt{nx_{m-1}}\xrightarrow[m\to\infty]{}\sqrt{n\alpha}\implies \alpha^2=n\alpha\implies\alpha=n$$

Answer 3

Una cosa que me gusta pensar es que esto es esencialmente la iteración de la función $$f(x)=\sqrt{nx}$$ y tratando de hacer lo que el valor de $f^{\infty}$ es. Esto no es particularmente bien definida la idea, sin embargo, podemos hacer uno por definir $$f^{\infty}(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f^n(x).$$ Ahora, es obvio que $f^{\infty}(x)$ debe ser un punto fijo de $f$ si es que existe - y has demostrado que $0$ $n$ son los únicos puntos fijos. Además, observe que, para $0<x<n$ tenemos $0<x<f(x)<n$, lo que significa que $f^n(x)$ es un aumento de la secuencia, bordeada por encima, y por lo tanto tiene un límite. Ya que siempre es positivo, ese límite es positivo, y lo único positivo de punto fijo es $n$. Del mismo modo, tenemos que si $n<x$,$n<f(x)<x$, lo $f^n(x)$ sería una disminución de la secuencia, acotado abajo por $n$ y, por lo tanto, por un argumento similar, converge a $n$. Así que podemos decir que para cualquier $x>0$ que $f^{\infty}(x)=n$. Esta es una razón de peso para decir que la expresión: $$\sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n\ddots}}}$$ en realidad es $n$. Así que, a menos que haya un cero, oculto bajo los infinitamente muchos radicales y la cancelación de todo (nota:$f^{\infty}(0)=0$), el límite de la secuencia correspondiente de es $n$.

Note, sin embargo, un punto importante aquí que el límite de la iteración no dependen de las condiciones iniciales (incluso si nos prefieren empezar a iterar con $x>0$), por lo que cuando se pide un valor como $f(f(f(\ldots)))$, tenemos que ser un poco cuidadoso. Es decir, tenemos suerte de tener a imaginar que en realidad están buscando una expresión como la siguiente: $$\sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n\ddots x}}}$$ donde el $x$ viene dentro de una infinidad de radicales y de hecho influye en las cosas. Aquí, es bastante trivial, pero puede conducir a la extraña pregunta de otra manera.

Answer 4

Usted debe no rechazar la solución de $x=0$. Por otro lado se debe rechazar la pregunta. Infinitas expresiones tienen sentido en general, y sólo puede a veces ser aceptado si se puede de forma inequívoca traduce en un límite de la expresión (el cual es sujeto a las consideraciones de convergencia).

Infinitas expresiones con puntos suspensivos "en el interior", como el de la pregunta, no puede ser transformado de forma inequívoca en los límites, ya que todo lo que sugieren es una operación a repetir, pero no el valor inicial. La expresión en la pregunta sólo sugiere iteración de la función $x\mapsto \sqrt{nx}$, pero dice nada acerca de un punto de partida de esta iteración; si hubo un punto de partida sería en la final de la infinita de anidación, pero como todos sabemos que no hay tal cosa como el final de una secuencia infinita (etimológicamente, "infinito" significa sin fin, o enlazado). Así, la expresión está pidiendo a repetir que la función indefinidamente sin iniciar en cualquier lugar. Resulta que si uno comienza a $0$ permanece allí; si uno empieza en un número positivo y uno converge a$~n$ (siempre que $n\geq0$, que sin embargo no fue dada en la pregunta), y si uno empieza en un número negativo se corre en problemas de inmediato. La única razón objetiva para preferir la segunda opción es la sensación acogedora que la convergencia en un gran conjunto de valores de partida adquiere nosotros. Si uno tomaría $n<0$, un argumento similar se llevaría a preferir la primera opción, sólo para evitar problemas.

Tenga en cuenta que la situación sería diferente si los puntos suspensivos estaban en el exterior, como en $$\ldots \sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n\times5}}}},$$ como ahora sería más o menos claro que usted está preguntando acerca de la $\lim_{k\to\infty}f^k(5)$ donde $f:x\mapsto\sqrt{nx}$.

Answer 5

Suponiendo que $x=0$ es una solución con $n \neq 0$. Entonces usted tendría la relación $0 = \sqrt{n \sqrt{n \sqrt {n ...}}}$. Ahora uno puede tomar el cuadrado en ambos lados y de ello se deduce que, o bien $n$ es cero o la iterada de la raíz cuadrada es igual a cero. Al $n=0$ está hecho; otra cosa que seguir demostrando el rechazo de 0 al cuadrado de nuevo en ambos lados y comparar las soluciones. Debido a que este procedimiento es repeadet infinitamente muchos, uno llega a la conclusión de que $n=0$ lo cual es una contradicción.