El número de soluciones de las ecuaciones $x^2-2y^2=\pm p$

Question

Sabiendo que las dos ecuaciones $x^2-2y^2=\pm1$ tienen infinitas soluciones en $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ (es decir, que hay infinitos elementos con norma $\pm 1$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ ), ¿cómo se demuestra que las dos ecuaciones $x^2-2y^2=\pm p$ también tienen infinitas soluciones en $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ para cada primo $p$ satisfaciendo $p\equiv_8 \pm 1$ ?

Answer 1

Dejemos que $ K = \mathbf Q(\sqrt{2}) $ . En primer lugar, observe que si exhibimos una sola solución, automáticamente tenemos infinitas soluciones. Ahora bien, al exponer un divisor de un primo $ p $ en $ \mathcal O_K $ es lo mismo que exhibir un ideal primo de $ \mathcal O_K $ que se encuentra en la parte superior $ p $ ya que $ K $ tiene número de clase $ 1 $ . Por lo tanto, basta con identificar los primos inertes en $ \mathcal O_K $ . El criterio de factorización de Dedekind nos dice que los primos inertes son precisamente los primos $ p $ tal que $ X^2 - 2 $ es irreducible módulo $ p $ En otras palabras, los primos $ p $ tal que

$$ \left( \frac{2}{p} \right) = -1 $$

La reciprocidad cuadrática nos identifica estos primos: son precisamente los primos que son $ 3 $ y $ 5 $ modulo $ 8 $ . Así, los primos que son $ 1 $ y $ 7 $ modulo $ 8 $ se dividen en $ \mathcal O_K $ .