Valor esperado de los ceros de polinomios aleatorios de grado dos

Question

Dejemos que $a_1,a_0$ sean variables aleatorias reales i.i.d. con distribución uniforme en $[-1,1]$ . Estoy interesado en los ceros aleatorios del polinomio $$p(x) = x^2 + a_1x + a_0. $$

Una cosa (entre muchas) que me interesa especialmente es calcular el valor esperado de sus ceros. Es posible escribir exactamente cuáles son los ceros $z_1,z_2$ de $p(x)$ son $$ z_1 = \frac{-a_1+\sqrt{a_1^2-4a_0}}{2} $$ y $$ z_2 = \frac{-a_1-\sqrt{a_1^2-4a_0}}{2}. $$

Por lo tanto, lo que quiero es calcular $$E[z_1] = E\Bigg[\frac{-a_1+\sqrt{a_1^2-4a_0}}{2}\Bigg] = \frac{-E[a_1] + E\Big[{\sqrt{a_1^2-4a_0}}\Big]}{2} = \frac{E\Big[{\sqrt{a_1^2-4a_0}}\Big]}{2}.$$

Tenga en cuenta que sólo tengo que calcular $E[z_1]$ , para $E[z_2] = \overline{E[z_1]}$ . Además, haciendo algunos experimentos con Matlab, parece que $E[z_1] = i$ .

Quiero confirmar ese resultado con una prueba matemática, si es posible. Gracias.

Editar: De mi propio cálculo, podemos ver que la relación correcta entre los valores esperados debería ser $E[z_2] = -E[z_1]$ no $E[z_2] = \overline{E[z_1]}$ .

Answer 1

$$E[z_1]=\frac{E\Big[{\sqrt{a_1^2-4a_0}}\Big]}2\\=\frac18\left(\int_{-1}^1\int_{-1}^1\sqrt{x^2-4y}dydx\right)\\=\frac1{48}\left(\int_{-1}^1(x^2+4)^{\frac32}-(x^2-4)^{\frac32}dx\right)\\=\frac1{24}\left(\int_0^1(4+x^2)^\frac32dx+i\int_0^1(4-x^2)^\frac32dx\right)\\=\frac{1}{24}\left(\left(\frac{11\sqrt5}4+6\sinh^{-1}\frac12\right)+i\left(\frac{9\sqrt3}4+\pi\right)\right)\\\approx0.3765+0.2933i$$

Answer 2

Sean las raíces las variables aleatorias $U$ y $V$ . Entonces, por simetría $E(U)=E(V)$ . Pero $U+V=-a_1$ Así que $U+V$ tiene media $0$ . Así, $E(U)=E(V)=0$ .