Problema de las derivadas parciales

Question

Tengo dos problemas:

Dejemos que $$f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, f \in C^2$$ .

Problema 1

Encuentre todas las funciones tales que $$\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y} = 0$$

Problema 2

Encuentre todas las funciones tales que $$\frac{\partial^2f}{\partial^2 x} = \frac{\partial^2f}{\partial ^2y}$$

Intento de 1

Tenemos por integración

$\frac{\partial f}{\partial x} = c(x)$ , donde $c(x)$ es una función de $x$ sólo. Entonces $f(x, y) = \int c(x) + h(y)$ , donde $h(y)$ es una función de $y$ solamente. Desde $c(x)$ es arbitraria, podemos establecer $f(x, y) = c_2(x) + h(y)$ con la condición de que $c_2(x)$ es derivable. ¿Es suficiente?

Intento de 2

Aquí estoy bastante atascado. Sé que hay algunas clases de funciones que funcionan (como $f(x, y) = k_1(x^2 + y^2) + k_2x + k_3 y + k_4$ )) ¿pero cómo encontrarlos todos?

Answer 1

La prueba del problema 1 me parece bien.

Además, creo que el problema 2 es una EDP, y no se puede resolver trivialmente. Es una EDP hiperbólica, exactamente la forma canónica de la ecuación de onda: dado $u(t,x)$ , $u$ es tal que $$ u_{tt}-v^2u_{xx}=0, $$ $$ u(x,0)=\phi_0(t), $$ $$ u_t(x,0)=\phi_1(t). $$ La solución general la da D'Alembert, que dice que: $$ u(x,t)=\frac{1}{2}(\phi_0(x-vt)+\phi_0(x+vt))+\frac{1}{2v}\int_{x-vt}^{x+vt}\phi_1(s)ds. $$ En su caso $v^2=1$ . Así: $$ u(x,y)=\frac{1}{2}(\phi_0(x-y)+\phi_0(x+y))+\frac{1}{2}\int_{x-y}^{x+y}\phi_1(s)ds $$