Calcular la distancia a un punto 3D en el espacio

Question

Estoy tratando de encontrar la distancia desde el origen a un punto en el espacio 3d que está desplazado por un par de ángulos y una línea. Estoy bastante seguro de que se puede encontrar, sólo estoy luchando para envolver mi cabeza alrededor de ella. La forma es bastante ordinaria, y el punto que estoy tratando de encontrar es el punto más alejado. Lo he hecho en CAD y puedes ver el punto de abajo como el punto más a la derecha. .

Aquí están los ángulos y medidas relevantes desde un par de perspectivas.

Ahora puedo medir esa distancia en CAD para volver a comprobar mis cálculos, pero me encuentro con que sigo obteniendo una respuesta errónea. Aquí está la distancia que estoy tratando de encontrar, como se mide en CAD.

Mi enfoque del problema era encontrar el triángulo rectángulo en la vista de arriba hacia abajo, utilizar el lado largo (1500+400) y el lado vertical (250) para resolver la hipotenusa, pero eso da 1916 en lugar de los 1897 medidos por CAD.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Tienes tres segmentos de línea, y por tanto cuatro puntos: punto de partida $\vec{p}_0$ , $\vec{p}_1$ , $\vec{p}_2$ y punto final $\vec{p}_3$ .

La cuestión es hasta qué punto es $\vec{p}_3$ de $\vec{p}_0$ es decir

$$L = \left \lVert \vec{p}_3 - \vec{p}_0 \right \rVert$$

Si tenemos $\vec{p}_0 = ( x_0, y_0, z_0 )$ y $\vec{p}_3 = ( x_3, y_3, z_3 )$ entonces

$$L = \sqrt{ \left ( x_3 - x_0 \right )^2 + \left ( y_3 - y_0 \right )^2 + \left ( z_3 - z_0 \right )^2 }$$

Supongamos que $x$ eje aumenta a la derecha en las vistas frontal y superior, $y$ eje aumenta hacia abajo en la vista superior, y $z$ El eje aumenta en la vista frontal.

El primer segmento de línea es $1500$ unidades de longitud, y está inclinado $15°$ de la $x$ eje hacia el $z$ eje:

$$\vec{p}_1 = \vec{p}_0 + ( 1500 \cos 15°, 0, 1500 \sin 15° )$$

El segundo segmento de línea es $250$ unidades a lo largo del $y$ eje:

$$\vec{p}_2 = \vec{p}_1 + ( 0, 250, 0 )$$

El tercer segmento de línea es $400$ unidades de longitud, y está inclinado $-5°$ de la $x$ eje hacia el $z$ eje (inclinado hacia el otro lado en comparación con el primer segmento de línea):

$$\vec{p}_3 = \vec{p}_2 + ( 400 \cos -5°, 0, 400 \sin -5° )$$

Combinando lo anterior, tenemos

$$\vec{p}_3 - \vec{p}_0 = \vec{p}_0 + ( 1500 \cos 15°, 0, 1500 \sin 15° ) + ( 0, 250, 0) + ( 400 \cos -5°, 0, 400 \sin -5° ) - \vec{p}_0$$

es decir

$$\vec{p}_3 - \vec{p}_0 = ( 1500 \cos 15° + 400 \cos -5°, 250, 1500 \sin 15° + 400 \sin -5° )$$

y por lo tanto

$$L = \sqrt{ (1500 \cos 15° + 400 \cos -5°)^2 + 250^2 + (1500 \sin 15° + 400 \sin -5°)^2 }$$

Este es un cálculo sencillo, pero recuerde que $\sin -5° \lt 0$ mientras que $\cos 15° \gt 0$ , $\sin 15° \gt 0$ y $\cos -5° \gt 0$ y que $\cos 15° = \cos\left(\frac{15 \pi}{180}\right)$ , $\sin -5° = \sin\left(\frac{-5 \pi}{180}\right)$ . De hecho, obtenemos

$$L = 1897.4011551 \approx 1897$$