Hay una secuencia en la $(0,1)$ tal que el producto de todos sus términos es $\frac{1}{2}$?

Question

Estoy tratando de construir una secuencia $\{x_{n}\} \in (0,1)$ tal que tal que el producto de todos sus términos es $\frac{1}{2}$.

Por favor, ¿puedo tener alguna pista para solucionar mi problema?

Gracias.

Answer 1

Si usted toma cualquier secuencia $a_1,a_2,a_3,\ldots$ cuya suma es$\log_b (1/2)$, $b^{a_1}, b^{a_2}, b^{a_3},\ldots$ es una secuencia cuyo producto es $1/2$.

Más tarde nota: Observe que $\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \frac 1 {16} + \cdots = 1$. Si se multiplica cada término por $\log_b \frac 1 2$ a continuación, obtener una serie cuya suma es $\log_b \frac 1 2$.

Todavía más tarde nota: Si $b>1$,$\log_b(1/2)<0$, e $b^{a_n}$ $(0,1)$ si $a_n<0$.

Answer 2

$$x_n=2^{-2^{-n}}\qquad (n\geqslant1)$$

Answer 3

Trate de encontrar una secuencia tal que $\frac{n+1}{2n}=\prod_{j=2}^nx_j$ (que va a hacer el trabajo). Tenemos $x_2=3/4$ y $$x_{n+1}=\frac{\prod_{j=2}^{n+1}x_j}{\prod_{j=2}^nx_j}=\frac{n+2}{2(n+1)}\frac{2n}{n+1}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}=\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}<\frac{n^2+2n\color{red}{+1}}{(n+1)^2}=1.$$ Por lo $x_n=\frac{n^2-1}{n^2}$ que hace el trabajo.

Answer 4

Cómo acerca de este telescópica producto? Deje $a_n=2-1/n$ y, a continuación, deje $x_n=a_n/a_{n+1}$. Entonces $$ \prod_{k=1}^n x_k = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)\left(\frac{a_2}{a_3}\right)\cdots\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)=\frac{a_1}{a_{n+1}}=\frac{n+1}{2n+1} $$ Es fácil comprobar que $0<x_n<1$ y los productos parciales obviamente tienden a $1/2$.

Answer 5

Tomar cualquier disminución de la secuencia $(\pi_k)_{k\ge0}$ tal que $$\pi_0=1;\quad \forall k\gt0,\pi_k \lt \pi_{k-1};\quad\lim_{k\to\infty}\pi_k=1/2.$$ We simply set $(\pi_k)_{k\ge1}$ como una secuencia de productos parciales, $$\pi_k=\prod_{n=1}^k x_n,\text{ where }x_n=\pi_n/\pi_{n-1},$$ garantizar que $$\prod_{n=1}^\infty x_n=1/2.$$