¿Por qué es $(\vec{b} \times \vec{a}) \times \vec{b}$ ¿No es cero?

Question

Si utilizo la regla del triple producto vectorial, se convierte en

$$ \vec{b} \times \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} ( |\vec{b}|^2) - \vec{b}(\vec{b} \cdot \vec{a})$$

que generalmente es distinto de cero, pero supongamos que uso las propiedades del producto cruzado:

$$ \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$$

Por lo tanto,

$$ \vec{b} \times \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{a} \times \vec{b} \times \vec{b} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{b})=0$$

¿Qué he hecho mal?

Answer 1

$\vec S= \vec P \times (\vec Q \times \vec R)= (\vec P. \vec R) \vec Q-(\vec P. \vec Q) \vec R$

Así que $(\vec b \times a)\times \vec b=-\vec b\times(\vec b \times \vec a)=-[(\vec b. \vec a) \vec b- (\vec b . \vec b) \vec a] \ne 0$

Answer 2

Eliminar el paréntesis hace que se realicen transformaciones no válidas, porque el producto cruzado no es asociativo.

De hecho $$\vec a\times\vec b\times\vec c$$ no tiene un significado definido.

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A menos que $\vec a,\vec b$ son paralelos, $\vec b\times\vec a$ es ortogonal a $\vec b$ por lo que no son paralelos, y $(\vec b\times\vec a)\times\vec b$ es distinto de cero.

Answer 3

Si $\mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$ son perpendiculares, entonces $\|\mathbf{x} \times \mathbf{y}\| = \|\mathbf{x}\|\;\|\mathbf{y}\|$ . Así que en ese caso, si los dos factores son distintos de cero, también lo es el producto cruzado. Pero $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ es perpendicular a $\mathbf{b}$ por lo que podemos concluir: si $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ es distinto de cero, entonces también lo es $(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\times \mathbf{b}$ .

Tenga en cuenta, sin embargo, que si $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ son paralelos, entonces $\mathbf{b} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ y tu conclusión falla.