Por qué podemos conseguir $f$ es continua?

Question

En el libro de texto de Folland P159 Thoerem 5.8. Si $\mathcal{M}$ es un subespacio cerrado del espacio vectorial normado $\mathcal{X}$ y $x\in \mathcal{X}\setminus\mathcal{M}$ existe $f\in \mathcal{X}^{*}$ s.t. $f(x)\neq 0$ y $f\mid M=0$ .

Por qué podemos conseguir $f$ es continua?

Answer 1

En $\mathcal M+\mathbb C x$ , defina $f(m+\lambda x)=\lambda$ . Esto está bien definido: si $m_1+\lambda x=m_2+\mu x$ entonces $(\lambda -\mu)x=m_2-m_1\in\mathcal M$ como $x\not\in\mathcal M$ Esto demuestra que $\mu=\lambda$ .

También, $\|m+\lambda x\|>0$ para todos $\lambda\ne0$ ya que de lo contrario tendríamos $\lambda x=-m\in\mathcal M$ . Entonces \begin{align} \|f\| &=\sup\left\{\frac{|\lambda|}{\|m+\lambda x\|}:\ \lambda\in\mathbb C\setminus\{0\},\ m\in\mathcal M\right\}\\ &=\sup\left\{\frac{1}{\|m/\lambda+ x\|}:\ \lambda\in\mathbb C\setminus\{0\},\ m\in\mathcal M\right\}\\ &=\sup\left\{\frac{1}{\|m+ x\|}:\ m\in\mathcal M\right\}\\ &=\frac1{\inf\{\|m+x\|:\ m\in\mathcal M\}}\\ &=\frac1{\operatorname{dist}(x,\mathcal M)}. \end{align} Así que $\|f\|$ está acotado. Ahora podemos aplicar Hahn-Banach para extender $f$ a un $\tilde f\in\mathcal X^*$ .