Cálculo de las perpetuidades

Question

Sandy adquiere una perpetuidad-inmediata que realiza pagos anuales. El primer pago es de 100, y cada pago posterior aumenta en 10. Danny adquiere una perpetuidad-due que realiza pagos anuales de 180. Utilizando el mismo tipo de interés efectivo, i>0, el valor actual de ambas perpetuidades es igual. Calcule i.

Esto es del Manual de Estudio para el Examen FM/Examen 2 Undécima Edición Sección 4h y 4i número 3. Toda esta sección me ha resultado muy confusa y no entiendo bien el razonamiento. La respuesta proporcionada es el 10,2%. Si alguien pudiera ayudarme se lo agradecería mucho.

Answer 1

$$ \underbrace{\frac{100}{i}+\frac{10}{i^2}}_{\textrm{Sandy}}=\underbrace{\frac{180}{d}}_{\textrm{Danny}} $$ donde $d=\frac{i}{1+i}$ . Así que tenemos que resolver $$ 180i^2 + 80i – 10 = 0\quad\Longrightarrow\quad 18i^2+8i-1=0 $$ y encontramos $$ i=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-18\times(-1)}}{18}=\begin{cases}\frac{-4+\sqrt{34}}{18}=10.17\%& \Longrightarrow\quad\text{OK}\\ \frac{-4-\sqrt{34}}{18}<0 & \Longrightarrow\quad\text{discard}\end{cases} $$