Calculando el orden de $dx$ en el punto infinito de una curva elíptica

Question

Tengo problemas para averiguar el orden de la forma diferencial $dx$ está en el punto infinito $P=[0:1:0]$ de la curva elíptica $C$ : $$y^2 = (x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$$

Quiero calcular esto directamente a partir de las definiciones en lugar de utilizar cualquier teorema. Mi primer paso fue encontrar un uniformizador. Para ello, he calculado

$$\mathfrak m_{[0:1:0]}/\mathfrak m^2_{[0:1:0]} = (x,z)/(x^2,xz,z^2)$$

Al homogeneizar la ecuación de la curva elíptica y expandir el lado izquierdo, se ve que $zy^2= x^3 +... \in \mathfrak m^2_{[0:1:0]}$ . Desde $y^2$ no se desvanece en $P=[0:1:0]$ es una unidad en el anillo local $C_P$ . Por lo tanto, $z\in \mathfrak m^2_{[0:1:0]}$ y $x$ es un uniformizador, que denominamos ' $t$ '.

Ahora, por definición $\operatorname{ord}_P(dx) = \operatorname{ord}_P(dx/dt) = 0$ . Sé que me he equivocado, pues según mi referencia esto debería ser $=-3$ . ¿Pero dónde estaba?

Answer 1

Dejemos que $X,Y,Z$ sean las coordenadas homogéneas de $\mathbb P^2$ para que $x=X/Z,y=Y/Z$ .
En $P$ elegimos las coordenadas $t=X/Y, u=Z/Y$ y luego $P$ viene dada por $t=u=0$ .
Como usted escribe, $t$ es un parámetro de uniformización de la curva $C$ en su punto $P$ ya que la ecuación de $C$ en el plano afín $Y\neq0$ (con coordenadas $t,u$ ) es $$u=t^3-\cdots-e_1e_2e_3u^3 =\text {a homogeneous polynomial of degree 3 in t,u}\quad (\ast)$$ Volvamos a su pregunta.
Tenemos $x=X/Z=t/u$ . Ahora en el anillo local $\mathcal O_{C,P}$ un anillo de valoración discreto, ecuación $(\ast)$ implica que $u$ tiene valoración $3$ .
Por lo tanto, $x=X/Z=t/u$ tiene valoración $-2$ para que, efectivamente $\operatorname{ord}_P(dx)=-3$ Tal y como afirma su texto.

Edición: un complemento
Es fácil ver que el orden de $dx$ es $1$ en $P_i=(e_i:1:0)$ para que el divisor de $dx$ es $$\text {div}\:dx=1.P_1+1.P_2+1.P_3-3.P$$ El grado de ese divisor es $0$ Esto está en consonancia con el hecho de que el haz canónico $K_C$ de los cuales $dx$ es un racional sección, tiene grado $0$ .