El determinante de a $4\times4$ Matriz

Question

Traté de resolver un $4 \times 4$ matriz, pero no estoy seguro si lo hice correctamente, ¿alguien puede decirme si hice esto correcto? O si hubo algún error en donde? También, sé que este es un ineficiente método para encontrar el determinante, sin embargo quiero obtener la práctica con la solución así:

$$A= \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 8 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

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$$\begin{align*} \det(A)&=2 \begin{vmatrix} 8 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} -4 \begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} +0 -1 \begin{vmatrix} 0 & 8 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}\\[0.3] Y=2\left(8 \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}-0+2 \begin{vmatrix} 3 & 0\\ 2 & 1 \end{vmatrix}\right)\\[0,1] &\quad{}-4\left(0-0+2 \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right)\\[0,1] &\quad{}+0\\[0,1] &\quad{}-1\left(0-8 \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix}+0\right)\\[0.3] &=2(8(0-5)-0+2(3-0))\\[0.1 en] &\quad{}-4(0-0+2(0))\\[0.1 en] &\quad{}+0\\[0,1] &\quad{}-1(0-8(0)+0)\\[0.3 en] &= 2(8(-5)-0+2(3))\\[0.3 en] &=2(-45+6)\\[0.3 en] &=2(-39)\\[0.3 en] &=-78 \end{align*}$$

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Lo siento por el largo post, he probado a hacer la legibilidad fácil para todo el mundo.

Answer 1

Yo sé que usted dijo que usted sabe que esta no es la manera más eficaz de encontrar el determinante, pero quiero señalar una forma rápida? De hecho, se usa la misma técnica, pero se aplica a la tercera columna.

$$\det(A) = (-1)^{3+4} \left| \begin{array}{lll} 2 & 4 & 1 \\ 0 & 8 & 2 \\ 0 & 3 & 5 \end{array}\right| = -2 \left| \begin{array}{lll} 8 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}\right| = -68 $$

Answer 2

Como se ha señalado por Amzoti en el comentario: sus cálculos son correctos, salvo por la falla en el final, cuando erróneamente calculados $8(-5) = -45$, al final, en el que los resultados en el cálculo final se fuera por $2(-5) = -10$, dándole $-78$ en lugar de $-68$.

Corregir eso, y ya está bueno para ir!

Pero la "parte dura" todo era perfectamente correcto. (He vuelto a revisar el resto de su obra, también, y usted lo hizo bien). así que si su objetivo era la "práctica" de encontrar el determinante de una matriz mediante la expansión a lo largo de la primera fila, para conseguir el proceso de derecha, que hizo las piezas clave.

AGREGADO: Si usted ha aprendido cómo elementales de fila de las operaciones de alterar el determinante de la matriz en la que está operando, haciendo lo que puede simplificar el cálculo del determinante de una matriz! Ver, por ejemplo, Hombre de Java comentario: si usted ha realizado las siguientes operaciones elementales con sus filas $-2R_4 + R_1 \to R_1$, usted podría haber ampliado a lo largo de la primera columna, lo que simplifica enormemente el proceso.

Si usted todavía no ha aprendido cómo ERO a cambiar el determinante, una vez que se conozca, su trabajo se reduce considerablemente en el futuro! (Por ejemplo, si usted es capaz de utilizar ERO en la matriz para reducir a un sistema equivalente/matriz que contiene una fila o una columna de ceros, el determinante de la totalidad (original y reducido) de la matriz se $0$.

La más práctica de obtener, y la más "accesos directos" a aprender, al menos tedioso calcular el determinante de una matriz.