Demuestre que si $I<J <R $ y $R/I \cong \mathbf {Z} $ entonces $R/J $ es un anillo finito.

Question

Si $I$ y $J $ son ideales en $R$ , $I$ es un subringio propio de $J$ y $ R/I \cong \mathbf {Z} $ entonces $R/J $ es finito.

Sé que si $R/J $ no es finito, debe ser contable y por tanto debe existir una biyección entre él y $R/I$ . No estoy seguro de cómo demostrar que esto implicará $I = J $ u otra contradicción.

Gracias.

Answer 1

En su título dice que $I\ne J$ .

Los ideales de $R/I$ corresponden a los ideales de $R$ que contiene $I$ : así que $J/I$ es un ideal de $R/I\cong\Bbb Z$ . Es un ideal no nulo por lo que mapea a $n\Bbb Z$ para algunos $n>0$ bajo el isomorfismo $R/I\to\Bbb Z$ . Entonces $R/J\cong (R/I)/(J/I)\cong\Bbb Z/n\Bbb Z$ ; esto es finito.

Answer 2

$J/I$ es un ideal no nulo de $R/I$ . Por el isomorfismo de la hipótesis, corresponde a un ideal no nulo $n\mathbf Z$ de $\mathbf Z$ y por el Tercer teorema de isomorfismo tenemos $$ R/J\simeq (R/I)\bigm/(J/I)\simeq\mathbf Z/n\mathbf Z, $$ que es finito.