Si $2^{\aleph_{\beta}}\geq \aleph_{\alpha}$ entonces $\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}=2^{\aleph_{\beta}}$ .

Question

Si $2^{\aleph_{\beta}}\geq \aleph_{\alpha}$ entonces $\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}=2^{\aleph_{\beta}}$ .

Prueba: Obsérvese que si $\beta \geq \alpha$ entonces tenemos $\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}=2^{\aleph_{\beta}}$ . No sé si la condición dada $2^{\aleph_{\beta}}\geq \aleph_{\alpha}$ dará $\beta \geq \alpha$ o no. Si lo hace, entonces hemos terminado. Si no es así, entonces todavía tenemos que considerar otros casos.

ACTUALIZACIÓN: Claramente $2 ^ {\aleph_{\beta}} \leq \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}$ . Tenga en cuenta que $\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} \leq (2^{\aleph_{\beta}})^{\aleph_{\beta}}=2^{\aleph_{\beta}}$ . Por el Teorema de Cantor-Bernstein, tenemos el resultado deseado.

Puede alguien ayudarme a comprobar si mi actualización es correcta o no.

Answer 1

No necesariamente tienes que $2^{\aleph_\beta}\geq\aleph_\alpha$ implica $\beta\geq\alpha$ ; considera que $2^{\aleph_0}\geq\aleph_1$ pero $0$ ciertamente no es $\geq 1$ . En cambio, intente demostrar que tiene ambos $\aleph_\alpha^{\aleph_\beta}\geq 2^{\aleph_\beta}$ y $\aleph_\alpha^{\aleph_\beta}\leq2^{\aleph_\beta}$ y luego usando Cantor-Bernstein. Una de ellas debería ser trivial; para la otra tendrás que hacer un poco de aritmética cardinal utilizando tu hipótesis.