¿Qué es esta matriz de distribuciones binomiales?

Question

Me he encontrado con el siguiente tipo de $(n+1) \times (n+1)$ matriz:

$$C^n = \left( \begin{array}{cccc} \beta^n(0) & 0 & \dots & 0 \\ \beta^n(1) & \beta^{n-1}(0) & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \beta^n(n) & \beta^{n-1}(n-1)& \dots & \beta^0(0) \\ \end{array} \right)$$

donde $\beta^n(k) = {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}, k = 0,1,\dots, n$ es el vector de probabilidades de la distribución binomial, y definimos $\beta^0(0) = 1$ . Por ejemplo, para $n=3$ tenemos la matriz

$$ C^3 = \left( \begin{array}{cccc} (1-p)^3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 p(1-p)^2 & (1-p)^2 & 0 &0 \\ 3 p^2(1-p) & 2 p(1-p) & 1-p & 0 \\ p^3 & p^2 & p & 1 \\ \end{array} \right) $$

Esta matriz parece tener algunas propiedades interesantes: es claramente invertible; la parte inferior derecha $n\times n$ submatriz de $C^n$ es $C^{n-1}$ y resulta que estas matrices conmutan con la convolución de probabilidades, en el sentido de que

$$ C^{m+n} (x \otimes y) = (C^m x) \otimes (C^n y)$$

donde $x \in \mathbb{R}^n$ y $y\in \mathbb{R}^m$ son vectores de distribución de probabilidad discreta y $x \otimes y$ es la operación de convolución habitual.

¿Alguien conoce este tipo de matriz? Agradecería cualquier sugerencia de literatura/información. He estado buscando durante casi todo el día, pero probablemente no estoy utilizando las palabras clave adecuadas ... Estoy al tanto de las matrices Pascal relacionadas, pero esto parece un poco diferente.

Answer 1

Invirtamos las filas/columnas de tu matriz y adoptemos la siguiente notación

$$ {\bf P}_{\,h} (p) = \left\| {\,P_{\,n,\,m} (p)\;\left| {\;0 \le n,m \le h} \right.\;} \right\|\;:\;P_{\,n,\,m} (p) = \binom{n}{m}p^{\,n - m} \left( {1 - p} \right)^{\,m} $$ que es $$ {\bf P}_{\,h} (p) = \left\| {\matrix{ {\left( \matrix{ 0 \cr 0 \cr} \right)p^{\,0} \left( {1 - p} \right)^{\,0} = 1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \cr p & {\left( {1 - p} \right)} & 0 & \cdots & 0 \cr {\left( \matrix{ 2 \cr 0 \cr} \right)p^{\,2} } & {\left( \matrix{ 2 \cr 1 \cr} \right)p\left( {1 - p} \right)} & {\left( \matrix{ 2 \cr 2 \cr} \right)\left( {1 - p} \right)^{\,2} } & \cdots & 0 \cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr {\left( \matrix{ h \cr 0 \cr} \right)p^{\,h} } & {\left( \matrix{ h \cr 1 \cr} \right)p^{\,h - 1} \left( {1 - p} \right)} & {\left( \matrix{ h \cr 2 \cr} \right)p^{\,h - 2} \left( {1 - p} \right)^{\,2} } & \cdots & {\left( \matrix{ h \cr h \cr} \right)\left( {1 - p} \right)^{\,h} } \cr } } \right\| $$

Realizamos este cambio para poder trabajar con la matriz "estándar" de Pascal $$ {\bf B}_{\,h} = \left\| {\;B_{\,n,\,m} = \binom{n}{m}\;\left| {\;0 \le n,m \le h} \right.\;} \right\| $$ ya que podemos escribir $$ \eqalign{ & {\bf P}_{\,h} (p) = \left\| {\,\binom{n}{m}p^{\,n - m} \left( {1 - p} \right)^{\,m} \;} \right\|\; = \left( {p^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf B}_{\,h} \left( {\left( {{{1 - p} \over p}} \right)^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right) \cr & = \left( {p^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf B}_{\,h} \left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right)\left( {p^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right)^{\, - \,{\bf 1}} = \left( {p^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf B}_{\,h} \left( {p^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right)^{\, - \,{\bf 1}} \left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right) = \cr & = {\bf B}_{\,h} ^{\,{\bf p}} \left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right) = \left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf B}_{\,h} ^{\,{\bf p}/{\bf q}} = \cdots \cr} $$ donde por $$ \left( {f(n) \circ {\bf I}_{\,h} } \right) $$ Indico la matriz diagonal que tiene los elementos diagonales no nulos iguales a $f(n)$ .

Su matriz corresponderá entonces a $$ \eqalign{ & {\bf C}_{\,h} (p) = \left\| {\;C_{\,n,\,m} (p) = \binom{h-m}{h-n}p^{\,n - m} \left( {1 - p} \right)^{\,h - n} \;} \right\| = \cr & = {\bf J}_{\,h} \left( {\left( {1 - p} \right)^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf J}_{\,h} \left( {p^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf J}_{\,h} \,\overline {{\bf B}_{\,h} } \,{\bf J}_{\,h} \left( {p^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right)^{\, - \,{\bf 1}} \cr & = {\bf J}_{\,h} \,\overline {{\bf P}_{\,h} (p)} \,{\bf J}_{\,h} \cr} $$ donde la barra superior indica la transposición, y $\bf J$ el matriz de intercambio .

Hay muchas propiedades que se pueden derivar en relación con las matrices $\bf P , \; \bf C$ .

El primero es que ambos son estocásticos, como ya se ha señalado $$ {\bf u}_{\,h} = \left\| {\,\matrix{ 1 \cr 1 \cr \vdots \cr 1 \cr } \,} \right\| = {\bf P}_{\,h} (p)\;{\bf u}_{\,h} \quad \overline {{\bf u}_{\,h} } = \overline {{\bf u}_{\,h} } \;{\bf C}_{\,h} (p) $$

La segunda es que, indicando como siempre $q=1-p$ tenemos claramente $$ charpoly\left( {{\bf P}_{\,h} (p)} \right) = charpoly\left( {{\bf C}_{\,h} (p)} \right) = \prod\limits_{k = 0}^h {\left( {x - q^{\,k} } \right)} $$ y los valores propios y el determinante son fácilmente deducibles.

Entonces, como es $$ \eqalign{ & {\bf P}_{\,h} (p)\,{\bf B}_{\,h} = \left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf B}_{\,h} ^{\,{\bf p}/{\bf q}} \,{\bf B}_{\,h} = \cr & = \left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf B}_{\,h} ^{\,\left( {{\bf p} + {\bf q}} \right)/{\bf q}} = \left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf B}_{\,h} ^{\,{\bf 1}/{\bf q}} = \cr & = \left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right)\left( {\left( {{1 \over q}} \right)^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf B}_{\,h} \left( {\left( {{1 \over q}} \right)^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right)^{\, - \,{\bf 1}} = \cr & = {\bf B}_{\,h} \left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right) \cr} $$ resulta que los vectores propios de $\bf P$ vienen dadas por la matriz de Pascal $\bf B$
y que $\bf P$ diagonalizar como $$ \bbox[lightyellow] { \eqalign{ & {\bf P}_{\,h} (p)\, = {\bf B}_{\,h} \left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf B}_{\,h} ^{\, - \,{\bf 1}} \cr & {\bf C}_{\,h} (p) = {\bf J}_{\,h} \,\overline {{\bf P}_{\,h} (p)} \,{\bf J}_{\,h} = \left( {{\bf J}_{\,h} \overline {{\bf B}_{\,h} } ^{\, - \,{\bf 1}} } \right)\,\left( {q^{\,n} \circ {\bf I}_{\,h} } \right)\,\left( {{\bf J}_{\,h} \overline {{\bf B}_{\,h} } ^{\, - \,{\bf 1}} } \right)^{\, - \,{\bf 1}} \cr} }$$

De aquí es fácil deducir las potencias de $\bf P ,\; \bf C$ , así como las funciones desarrollables en serie.

De ahí se desprende también la interesante, y esperada, propiedad: $$ {\bf P}_{\,h} (1 - a)\;{\bf P}_{\,h} (1 - b) = {\bf P}_{\,h} \left( {1 - ab} \right) $$ y lo mismo para $\bf C$ , lo que sugiere que tenemos un mejor intercambio $p$ y $q$ en la definición de $\bf P$ .

Por último, al observar $\bf P$ como una matriz de transición, es evidente que si definimos la matriz de un solo paso $\bf Q$ como $$ {\bf Q}_{\,h} (p) = \left\| {\;\matrix{ 1 & 0 & 0 & \ldots \cr p & {1 - p} & 0 & \ddots \cr 0 & p & {1 - p} & \ddots \cr \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \cr } \;} \right\| $$ cuyo significado es obvio, entonces el $k$ -en la fila de $\bf P$ es el $k-th$ fila de ${\bf Q}^{\,{\bf k}}$ es decir $$ {\bf P}_{\,h} (p) = \sum\limits_{0\, \le \,k\, \le \,h} {\left( {\left[ {n = k} \right] \circ {\bf I}_{\,h} } \right){\bf Q}_{\,h} ^{\,{\bf k}} (p)} $$ donde $[P]$ denota el Soporte Iverson y que es lo mismo que decir que $$ {1 \over {\left( {h + 1} \right)}}\left\| {\;1,1, \cdots ,1\;} \right\|\;{\bf P}_{\,h} (p) = {1 \over {\left( {h + 1} \right)}}\sum\limits_{0\, \le \,k\, \le \,h} {\left\| {\;\left[ {0 = k} \right],\left[ {1 = k} \right], \cdots ,\left[ {h = k} \right]\;} \right\|{\bf Q}_{\,h} ^{\,{\bf k}} (p)} $$ cuyo significado también es obvio.