¿Es todo espacio dual con topología fuerte localmente convexo?

Question

He aquí una pregunta sobre los espacios vectoriales topológicos. Considere un espacio vectorial topológico. $X$ . Entonces en el dual continuo se puede definir la topología fuerte, dada por la convergencia uniforme en los conjuntos acotados. Sea $B = \{A \mid A \, \mathrm{bounded} \}$ . Entonces la topología en el dual es inducida por la familia de seminormales $\big\{\Vert.\Vert_A\big\}_{A \in B}$ $$\Vert f\Vert_A = \sup_{x \in A} \mid f(x)\mid $$

Ahora, sabemos que un espacio vectorial topológico es localmente convexo si y sólo si su topología es inducida por una familia de seminormas.

¿Significa esto que todo espacio dual con esta topología es localmente convexo? ¿O me estoy perdiendo algo?

Gracias de antemano por sus respuestas.

Answer 1

¿Significa esto que todo espacio dual con esta topología es localmente convexo? SÍ. ¿O me estoy perdiendo algo? NO. Tu pensamiento es correcto.

Otra forma de pensar. La topología fuerte es una topología polar (véase el libro Espacio vectorial topológico, Lawrence Narici y Edward Beckenstein, ejemplo 8.5.5) y toda topología polar es localmente convexa (véase el mismo libro 8.5 Topología polar, o el ejemplo 11.2.5).