Probabilidad de escoger tres canicas en orden

Question

Una bolsa contiene 9 canicas rojas, 5 azules y 7 verdes. Hay que seleccionar una canica a la vez sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul, la segunda sea azul o verde y la tercera sea roja?

Mi solución:

$= P(\text{blue}) * P(\text{blue} \cup \text{green}) * P(\text{red})$

$\displaystyle = {5\over 21} * ({4\over 20} + {7\over 20}) * ({9\over 19})$

¿Te parece bien?

Answer 1

Esa parece ser la respuesta correcta. Estos son probabilidades condicionales Así que

\begin{align*} & \mathrm{Pr}(\text{marble 1 is blue} \cap \text{marble 2 is blue or green} \cap \text{marble 3 is red}) \\ &= \mathrm{Pr}(\text{marble 1 is blue}) \times \mathrm{Pr}(\text{marble 2 is blue or green} \mid \text{marble 1 is blue}) \times \mathrm{Pr}(\text{marble 3 is red} \mid \text{marble 1 is blue} \cap \text{marble 2 is blue or green}) \\ &= \frac{5}{9+5+7} \times \frac{(5+7)-1}{(9+5+7)-1} \times \frac{9}{(9+5+7)-2}\\ &= \frac{33}{532}. \end{align*}

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Como alternativa, podemos utilizar un argumento de recuento. Hay $3! \binom{9+5+7}{3}=7980$ pedido $3$ -tuplas de $\{r_1,\ldots,r_9,b_1,\ldots,b_5,g_1,\ldots,g_7\}$ . De ellos, precisamente $5 \times (5+7-1) \times 9=495$ satisface el patrón azul-azul/verde-rojo. Tenemos $$\frac{5 \times (5+7-1) \times 9}{3! \binom{9+5+7}{3}}=\frac{33}{532}.$$