Cálculo de la variación con restricciones de desigualdad

Question

Quiero encontrar la función $y$ que maximiza la función

$J[y] = \int_0^1 g(x) y(x) dx$

con sujeción a $0 \leq y(x) \leq 1$ para todos $x\in [0,1]$ y $\int_0^1 y(x) dx = k$ donde $g$ es una función estrictamente creciente.

Sé que puedo ocuparme de la restricción isoperimétrica con bastante facilidad utilizando el Lagrangiano

$K[y] = \int_0^1 (g(x) y(x) + \lambda y(x)) dx$ .

También sé que puedo ocuparme de las restricciones de la forma $y(x) \leq 1$ utilizando una sustitución como $u^2(x) = 1 - y(x)\geq 0$ para conseguir

$K[u] = \int_0^1 (g(x) (1-u^2(x)) + \lambda (1-u^2(x)))dx$ .

Sin embargo, estoy bastante perdido con una restricción de la forma $0 \leq y(x) \leq 1$ es decir, cuando intervienen dos desigualdades al mismo tiempo. ¿Cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

Supongamos que en dos intervalos infinitesimales $A = [a, a+dx]$ y $B = [b, b+dx]$ tenemos $a < b$ , $y > \epsilon$ en $A$ y $y< 1 - \epsilon$ en $B$ . Sea $C = [0,1] - A - B$ . Desde $g$ es estrictamente creciente, $\int_A g(x) \, dx \le \int_B g(x) \, dx$ . Definir $$y_1(x) =\begin{cases} y(x) - \epsilon & x\in A\\y(x) + \epsilon & x\in B\\y(x) & x\in C\end{cases}$$

Entonces, $$\begin{align}\int_0^1 g(x)y_1(x) \, dx &= \int_A g(x)y_1(x) \, dx + \int_B g(x)y_1(x) \, dx +\int_C g(x)y_1(x) \, dx\\ &= \int_A g(x)(y(x)-\epsilon) \, dx + \int_B g(x)(y(x)+\epsilon) \, dx +\int_C g(x)y(x) \, dx\\ &= \int_0^1 g(x)y(x) \, dx + \epsilon\left(\int_B g(x) \, dx - \int_Ag(x) \, dx\right)\\ & \ge \int_0^1 g(x)y(x) \, dx\end{align}$$ Así, el aumento del valor de $y$ para valores más altos de $x$ a expensas del valor de $y$ para valores inferiores de $x$ aumenta $J$ . Llevando esto al extremo sin dejar de satisfacer $0 \le y \le 1$ y $\int_0^1 y \, dx = k$ da $$y(x)=\begin{cases} 0 & x < 1-k\\1&x \ge 1 - k\end{cases}.$$

Answer 2

Creo que es mejor escribir la restricción de esta forma: $0 \leq y(x) \leq 1 \implies -\frac{1}{2} \leq y(x)-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} \implies \left( y(x)-\frac{1}{2} \right)^2 \leq \frac{1}{4} \implies y(x)^2-y(x)<0$ . Ahora puedes utilizar tus conocimientos para resolver el problema. Buena suerte.