El mismo flujo a través de cada sección transversal.

Question

Tengo el siguiente problema: Sea $F$ sea un campo vectorial continuamente diferenciable con $div(F)=0$ . Definimos una curva integral como una curva que es tangente al campo vectorial F.

Tomemos ahora una curva C que no sea nunca tangente a F. Al observar las curvas integrales de F a través de C obtenemos una superficie, que llamamos S.

Demostrar que el flujo de F a través de cada sección de S es igual.

¿Alguna ayuda? He intentado encontrar una parametrización general de la superficie F y calcular el flujo "a mano". Conseguí que el flujo es cero a través de cada sección pero eso parece impar, así que probablemente estoy equivocado. Además, no he utilizado el hecho de que el campo es libre de divergencia.

Por favor, ayuda :)

Answer 1

Creo que el OP tiene razón, independientemente del valor de $\nabla \cdot F$ .

¿Por qué? Recordemos que el flujo a través de una superficie $S$ es

$\displaystyle \int_S F \cdot \vec n \; dS, \tag 1$

donde $dS$ es el elemento de área de $S$ y $\vec n$ es un campo normal unitario; pero aquí tenemos

$F \cdot \vec n = 0 \tag 2$

en $S$ ya que $F$ es tangente a la superficie. Por tanto, la integral (1) debe desaparecer, independientemente de $\nabla \cdot F$ .

Nótese que no hemos necesitado ninguna parametrización especial para ver esto.