asintótica de la transformada de Laplace

Question

Supongamos que sé que una variable aleatoria no negativa con densidad $f$ tiene la siguiente transformación de Laplace: $$\hat{f}(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\frac{1}{\cosh(\sqrt{2s}x)}$$ donde $s>0$ y $x>0$ es un parámetro. Quiero encontrar el comportamiento asintótico de $f(t)$ como $t\to\infty$ . El teorema estándar de Tauber no se aplica ya que $\hat{f}(s)$ está acotado como $s\downarrow 0$ . Sin embargo, si permitimos $s$ sea negativo, hay una singularidad en $s=\frac{-\pi^2}{8x^2}$ y creo que debería haber un teorema de tipo Tauberiano que relacione el comportamiento asintótico de $f(t)$ como $t\to\infty$ con el comportamiento asintótico de $\hat{f}(s)$ como $s\downarrow\frac{-\pi^2}{8x^2}$ junto con algún factor exponencial que implique $\frac{-\pi^2}{8x^2}$ . El contexto de este problema en particular permite utilizar otros métodos para calcular $f$ exactamente así que lo que realmente me interesa es el teorema de tipo Tauberiano insinuado anteriormente. Las referencias a la literatura son bienvenidas.

Answer 1

Realmente, estás pidiendo la LT inversa, que por definición es

$$f(t) = \frac1{i 2 \pi} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} ds \, e^{s t} \, \operatorname{sech}{a \sqrt{s}}$$

donde $a=\sqrt{2} x$ y $c \gt 0$ es mayor que la parte real mayor de cualquier polo del integrando.

Normalmente, te llevaría a través de un contorno de integración en el plano complejo que me permitiría evaluar la integral a través del teorema de Cauchy. Sin embargo, voy a tomar un enfoque diferente, uno que me permite expresar el integrando en términos de mucho una suma sobre las funciones más simples que tienen fácil LT inversa.

Voy a exponer el siguiente resultado:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1} \frac1{(2 n+1)^2 + b^2} = \frac{\pi}{4 b^2} \left ( 1-\operatorname{sech}{\frac{\pi b}{2}} \right )$$

Esta suma se puede evaluar utilizando el teorema del residuo, considerando la integral

$$\oint_{C_N} dz \, \frac{\pi \, \csc{\pi z}}{(2 z+1) [(2 z+1)^2 + b^2]}$$

donde $C_N$ es un contorno cuadrado centrado en el origen de longitud lateral $2 N+1$ , donde $N \in \mathbb{N}$ . Como $N \to \infty$ la integral llega a cero. (Este es un resultado bien conocido y no voy a entrar en detalles aquí; para los interesados, véase este por ejemplo). Por lo tanto, por el teorema del residuo, podemos escribir

$$2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1} \frac1{(2 n+1)^2 + b^2} = -\pi \sum_k \operatorname*{Res}_{z=z_k} \frac{\csc{\pi z}}{(2 z+1) [(2 z+1)^2 + b^2]}$$

donde el $z_k$ son los ceros del denominador del sumando, es decir $z_1=-1/2$ , $z_{2,3} = -1/2 \pm i b/2$ . Los residuos en estos polos son sencillos de calcular y el resultado es el siguiente.

Dejemos que $b=(2/\pi) a \sqrt{s}$ . Podemos entonces reescribir la suma como

$$\begin{align} \operatorname{sech}{a \sqrt{s}} &= 1-\frac{16 a^2 s}{\pi^3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1} \frac1{(2 n+1)^2 + \frac{4 a^2 s}{\pi^2}} \\ &= \frac{\pi}{a^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2 n+1)}{s+(2 n+1)^2 \frac{\pi^2}{4 a^2}} \end{align}$$

Ahora podemos tomar la ILT de la expresión deseada, que no es más que una suma sobre expresiones muy simples. La inversión de la suma y la integración puede estar justificada porque, para $t \gt 0$ , tanto la suma como la integral convergen. Por lo tanto, la ILT es

$$f(t) = \frac{\pi}{a^2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (2 n+1) \, \exp{\left [-(2 n+1)^2 \frac{\pi^2}{4 a^2} t\right ]}$$

(La expresión de la derecha no converge en $t=0$ porque la integral original que representa tampoco converge allí).

Para responder ahora a su pregunta, el comportamiento asintótico de $f$ como $t\to\infty$ está determinada por el primer término de la suma, ya que todos los demás términos son exponencialmente pequeños para tales valores de $t$ . Así, tenemos, sustituyendo $a=\sqrt{2} x$ :

$$f(t) \sim \frac{\pi}{2 x^2} \, e^{-\frac{\pi^2}{8 x^2} t} \quad \left ( t \to \infty\right )$$

Un último comentario sobre tu pregunta: ten en cuenta que la LT en cuestión tiene un número infinito de ceros a lo largo del eje real negativo. Por tanto, el límite de tu pregunta no tiene ningún sentido.

Answer 2

Sí, efectivamente, el radio de convergencia de una transformada de Laplace nos dice algo sobre la velocidad de decaimiento del integrando.

Voy a tratar un caso un poco más sencillo:

$$\hat{f}(s) = \frac{1}{\cosh \sqrt{2 s}}.$$ Sabemos que $\cosh(\theta)$ tiene ceros cuando $\theta \in \{ i (\pi/2 + n \pi), n \in \mathbb{Z} \}$ para que $\hat{f}(s)$ tiene singularidades cuando $\sqrt{2s} = i(\pi/2 + n \pi)$ o $$\lambda = -\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + n \pi \right)^2, \quad n \in \mathbb{Z}.$$ El poste más grande es $- \pi^2 / 8$ (cuando $n = -1$ o $n = 0$ ). Esto significa que $\hat{f}(s)$ converge en el semiplano complejo $\mathfrak{R}(s) > -\pi^2 / 8$ .

Su transformada de Laplace es bastante conocida. Se trata de la distribución del primer tiempo de salida del movimiento browniano (iniciado en cero) del intervalo $[-1, 1]$ .

Véase el lema 2, Burq & Jones

Referencias: Burq Z., Jones, O. D., Simulación del movimiento browniano en tiempos de primer paso, Mathematics and Computers in Simulation, Volume 77 Issue 1, February, 2008, Pages 64-71

Widder, The Laplace Transform (1946), Thm 2.2a.