¿Por qué debería ${\sum_1^n {s_i} \over \sum_1^n {t_i}} = {n \over \sum_1^n{t_i \over s_i}}$ ? (media armónica)

Question

Me di cuenta leyendo sobre el rendimiento del ordenador . Esta identidad se presenta allí con palabras: dividiendo la distancia total por el tiempo total, se llega a la tasa de ejecución media a la izquierda. A la derecha, se llega a lo mismo con la media armónica. No entiendo cómo se demuestra esto.

Creo que puedo demostrarlo en el caso de que la distancia sea constante, $s_i = (s,s,s,\ldots)$ : $${\sum_1^ns_i \over \sum_1^n t_i} = {n \over \sum_1^n{t_i/s_i}}$$

porque $${\sum_1^n {s_i} \over \sum_1^n {t_i}} = {ns \over \sum_1^n {(s/s) t_i}} = {n \over \sum{t_i \over s}} = {n \over \sum{t_i \over s_i}}$$ en este caso.

Esto lo confirma el artículo de la wikipedia, que dice que la media armónica funciona para viajes equidistantes , $s_1 = s_2 = \ldots = s$ , en Álgebra y Física . Sin embargo, el libro muestra que esta identidad también es válida para las diferentes distancias de viaje $s_i$ sobre las pruebas $i$ , $s_i = [130,160,115,252,187]$ (con los correspondientes tiempos de ejecución $t_i=[321,436,284,601,482]$ lo que se traduce en tasas de ejecución de $v_i = s_i/t_i = [405, 367,405,419,388]/1000$ ) en la tabla Cuadro 3.2, en la página 32 ¡! Sin embargo, la identidad parece mantenerse porque esto es lo que dice el libro y lo he comprobado numéricamente, $$\sum_1^n{s_i \over t_i} = {130+160+115+252+187 \over 321+436+284+601+482 } = {844 \over 2124} = 0.39$$ es igual a $$ {n \over \sum{t_i/s_i}} = {5/(1/405 + 1/367+ 1/405+ 1/419+ 1/388)} = 0.39$$ de hecho.

Por lo tanto, no parece necesario limitar la media armónica a los casos de carga de trabajo constante. Se puede aplicar de forma universal.

Sorprendentemente, cuando introduzco números arbitrarios, por ejemplo $s_1=20, s_2 = 30, t_1 = 10, t_2 = 90$ , obtén la tasa media

$$Rate_{average} = \frac{s_1+s_2}{t_1+t_2} = {20+30 \over 10+90} = 50/100 = 1/2$$

mientras que la tasa armónica diverge

$$Rate_{harmonic} = {n \over {{t_1 \over s_1} + {t_2 \over t_2}}} = {2 \over {{10\over 20} + {90 \over 30}}} = {2 \over 1/2 + 3} = 4/7 \neq Rate_{average}$$

¿Qué tiene de malo el método del libro? ¿Cuál de las tasas promedio es la correcta? ¿Por qué toda la discrepancia que obtienen es un error de redondeo mientras que yo veo algo más sustancial?

actualización

El autor del libro se ha puesto en contacto conmigo y me ha pedido disculpas por las molestias. Tiene un lista de erratas y en particular la media armónica ponderada tuvo que ser utilizada en el ejemplo . Sigo sin entender cómo es que los datos simples de la tabla funcionan con la media armónica simple? Esto cierra la pregunta. Gracias por las respuestas adecuadas. He elegido una al azar.

Answer 1

No he podido abrir el libro de tu enlace, así que me falta el contexto y las afirmaciones exactas de los autores. Sin embargo,

¿Qué tiene de malo el método del libro?

Como ha explicado @Avitus, la afirmación no es válida en general. Tú mismo has demostrado que se cumple cuando $s_i = s_j$ para todos $i,j$ . Si esto no se cumple, pero su entrada es "cercana" (en algún sentido) a dicho caso constante, su resultado también será cercano (pero no igual). Tenga en cuenta que, para su ejemplo:

$$\frac{844}{2124} \approx 0.39736346516007532956,$$

que parece cercano, pero no es igual a

$$\frac{5}{\frac{321}{130} + \frac{436}{160} + \frac{284}{115} + \frac{601}{252} + \frac{482}{187}} \approx 0.39600018497296518509.$$

¿Cuál de las tasas medias es correcta?

Cuando se trata de promedios, no hay ninguno "correcto". Cada una tiene ciertas interpretaciones y propiedades, y la que elijas es cuestión de tus objetivos y supuestos.

¿Por qué toda la discrepancia que obtienen es un error de redondeo mientras que yo veo algo más sustancial?

En el ejemplo anterior, obviamente. Ambos resultados son $0.39$ cuando se le da un golpe de timón a $2$ dígitos decimales, pero si toma más, el resultado no es correcto. En su segundo ejemplo, $4/7 \approx 1/2$ (hasta el primer dígito decimal), por lo que no es tan diferente.

Si te alejas mucho de un caso "equilibrado", no te acercas a la fórmula. Por ejemplo:

$$s = (1, 100), \quad t = (1, 2)$$

rinde

$$\frac{1+100}{1+2} = \frac{101}{3} = 33.\overline{6} \not \approx 1.96078431372549019607 \approx \frac{2}{\frac{1}{1} + \frac{2}{100}}.$$

Answer 2

La declaración sin más supuestos sobre $t_i$ y $s_i$ no es cierto, en general. Sea

$$H(s_1,\dots,s_n)=\frac{n}{\sum_i \frac{1}{s_i}}$$

sea la media armónica de $(s_1,\dots,s_n)$ . La media armónica ponderada con pesos $T=(t_1,\dots,t_n)$ es $$H_T(s_1,\dots,s_n)=\frac{\sum_i t_i}{\sum_i \frac{t_i}{s_i}}. $$

Tenemos

$$H_T(s_1,\dots,s_n)=H(s_1,\dots,s_n) $$

si $T=(t,t,\dots,t)$ , $t\neq 0$ .

En este contexto, la declaración

$$\frac{\sum_i s_i}{\sum_i t_i}=\frac{n}{\sum_i \frac{t_i}{s_i}} $$

equivale a

$$\frac{\sum_i s_i}{\sum_i t_i}=\frac{n}{\sum_i t_i}H_T(s_1,\dots,s_n)$$

o

$$H_T(s_1,\dots,s_n)=\frac{\sum_i s_i}{n},$$

lo cual no es cierto, ya que la h.r. es independiente de $T$ . Por ejemplo, con $n=2$ , $s=(1,0.5)$ y $T=(1,1)$ se llega a la contradicción

$$\frac{2}{3}=H_T(1,0.5)=\frac{3}{4}. $$

Answer 3

Presentación de $u_k=t_k/s_k$ esto equivale a la afirmación de que $$ \sum_{k=1}^ns_k\cdot\sum_{k=1}^nu_k=n\cdot\sum_{k=1}^ns_ku_k, $$ lo cual es erróneo en general, como lo demuestra casi cualquier ejemplo. Resultados parciales cuando $n\geqslant2$ son que, si $(s_k)$ y $(u_k)$ son ambos crecientes o ambos decrecientes, entonces $$ \sum_{k=1}^ns_k\cdot\sum_{k=1}^nu_k\lt n\cdot\sum_{k=1}^ns_ku_k, $$ y que, si $(s_k)$ está aumentando y $(u_k)$ es decreciente, o al revés, entonces $$ \sum_{k=1}^ns_k\cdot\sum_{k=1}^nu_k\gt n\cdot\sum_{k=1}^ns_ku_k. $$