Demuestra que todo grupo libre es libre de torsión

Question

Demuestra que todo grupo libre es libre de torsión.

Aquí está mi intento:

Dejemos que $F$ sea un grupo libre y que $a \in F$ sea un elemento de orden finito, es decir $a^n=1$ para algunos $n > 0$ . También $a=a_1...a_s$ es una palabra reducida de longitud $s>0$ es decir $a$ es un elemento no identitario.

Basta con mostrar una contradicción. Pero no sé exactamente cómo.

Answer 1

Pista: dada una palabra $a \not = e$ (¡no se supone que sea de torsión! estamos probando esto directamente, no por contradicción), escríbalo como $u w u^{-1}$ sin que se produzcan cancelaciones entre $u$ y $w$ y ninguna cancelación entre $w$ y $u^{-1}$ , donde $w$ es reducido cíclicamente : es una palabra reducida $a_0 a_1 \dots a_m$ tal que $a_0 a_m \not = e$ .

Ahora considera los poderes de la palabra: $a^n = u w^n u^{-1}$ .

No hay anulación entre $u$ y $w^n$ y no hay cancelación entre $w^n$ y $u^{-1}$ y no se puede cancelar dentro de $w^n$ porque hemos definido $w$ que se reduzca cíclicamente. Así que $a^n$ no es la palabra de identidad, porque su longitud no es $0$ .