¿Cuál es la medida de Lebesgue de un intervalo abierto intersecado con un conjunto de Cantor generalizado con medida de Lebesgue positiva?

Question

En el libro de Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, la página 39 tiene una explicación de cómo construir un conjunto de Cantor generalizado con medida positiva. Como referencia, la construcción del conjunto de Cantor generalizado implica comenzar con $K_0 = [0,1]$ eliminando el intervalo abierto de longitud $\alpha_1$ (para $\alpha_1 \in (0,1)$ ) centrado en el punto medio, y en cada paso $j$ creando $K_j$ quitando el centro abierto $\alpha_j^{th}$ de cada intervalo en $K_{j-1}$ .

Después de construir un conjunto de Cantor generalizado $K$ con medida positiva $\beta \in (0,1)$ Quiero saber cómo calcular la medida de cualquier intervalo abierto, llámese $V$ se cruza con $K$ . Supongo que es sólo la longitud de la $V$ dentro de $[0,1]$ veces $\beta$ y me gustaría saber cómo demostrarlo rigurosamente, suponiendo que mi suposición sea correcta. Gracias.

Answer 1

La suposición no es correcta. Elija un impar $n=2m+1\in\Bbb Z^+$ lo suficientemente grande como para que $\frac1n<\alpha_1$ . Entonces

$$\beta=\sum_{k=0}^{n-1}m\left(K\cap\left(\frac{k}n,\frac{k+1}n\right)\right)\,,$$

así que

$$m\left(K\cap\left(\frac{k}n,\frac{k+1}n\right)\right)>0$$

para algunos $k\in\{0,\ldots,n-1\}$ pero

$$m\left(K\cap\left(\frac{m}n,\frac{m+1}n\right)\right)=m(\varnothing)=0,.$$