Probando $(a+b+c) \Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big) \leqslant 25$

Question

Para $a,b,c \in \Big[\dfrac{1}{3},3\Big].$ Prueba $:$

$$(a+b+c) \Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big) \leqslant 25.$$

Supongamos que $a\equiv \text{mid}\{a,b,c\},$ tenemos $:$

$$25-(a+b+c) \Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big) =\dfrac{2}{bc} (10bc-b^2-c^2) +\dfrac{c+b}{abc} (a-b)(c-a)\geqslant 0.$$

Deseo encontrar una prueba con $a:\neq {\rm mid}\left \{ a, b, c \right \},$ u otra prueba $?$

En realidad $,$ También encontré una prueba verdadera para todos $a,b,c \in \Big[\dfrac{1}{3},3\Big],$ pero muy feo.

Después de despejar los denominadores $,$ necesidad de demostrar $:$

$$f:=22abc-a^2c-a^2b-b^2c-ab^2-bc^2-ac^2\geqslant 0$$

pero tenemos $:$

$$f=\dfrac{1}{32} \left( 3-a \right) \left( 3-b \right) \Big( c-\dfrac{1}{3} \Big) + \left( 3-a \right) \left( a-\dfrac{1}{3} \right) \left( b-\dfrac{1}{3} \right) +\\+{ \frac {703}{32}}\, \left( a-\dfrac{1}{3} \right) \left( b-\dfrac{1}{3} \right) \left( c-\dfrac{1}{3} \right) +{\frac {9}{32}} \left( 3-a \right) \left( 3-c \right) \left( a-\dfrac{1}{3} \right) +\dfrac{1}{4} \left( 3-b \right) \left( 3-c \right) \left( c-\dfrac{1}{3} \right) +\dfrac{5}{4} \left( 3-c \right) \left( c-\dfrac{1}{3} \right) \left( a-\dfrac{1}{3} \right) +{\frac {49}{32}} \left( 3-c \right) \left( b-\dfrac{1}{3} \right) \left( c-\dfrac{1}{3} \right) + \left( 3-b \right) \left( b-\dfrac{1}{3} \right) \left( c-\dfrac{1}{3} \right) +\\+{\frac {21}{16}}\, \left( 3-b \right) \left( a-\dfrac{1}{3} \right) \left( b-\dfrac{1}{3} \right) \\+\dfrac{5}{4}\, \left( 3-a \right) \left( c-\dfrac{1}{3} \right) \left( a-\dfrac{1}{3} \right) +\dfrac{1}{32} \, \left( 3-a \right) ^{2} \left( 3-c \right) +\dfrac{1}{4}\, \left( 3-b \right) \left( b-\dfrac{1}{3} \right) ^{2}+\dfrac{1}{32} \left( 3-b \right) ^{2} \left( a-\dfrac{1}{3} \right) +{\frac {9}{32}} \left( a-\dfrac{1}{3} \right) \left( b-\dfrac{1}{3} \right) ^{2}+\dfrac{1}{4} \left( a-\dfrac{1}{3} \right) \left( c-\dfrac{1}{3} \right) ^{ 2}+\dfrac{1}{4} \left( b-\dfrac{1}{3} \right) \left( 3-b \right) ^{2}+{\frac {9}{32}} \, \left( b-\dfrac{1}{3} \right) \left( c-\dfrac{1}{3} \right) ^{2}$$

Así que hemos terminado.

Si quieres comprobar mi descomposición $,$ ver el texto aquí .

Answer 1

Por AM-GM tenemos $$ \frac{(a+b+c) + (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}{2} \geq \sqrt{(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}. $$ Obsérvese que, por la suposición, tenemos $$ 3 + \frac{1}{3} \geq a + \frac{1}{a} $$ y lo mismo para las demás variables. Por lo tanto, $$ 3 \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} \geq \sqrt{(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}, $$ como se desee.

Answer 2

He encontrado una mejor estimación $$ (a+b+c) \Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big) \leqslant \frac{209}{9}.$$ La igualdad se produce cuando $a=b=3,\,c=\frac 13$ o $a=b=\frac 13,\,c=3.$

Answer 3

Dejemos que $f(a,b,c)=(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$ . Tenga en cuenta que $f$ es cóncavo de cada variable (si las demás variables son fijas). Por lo tanto, como es cóncavo en $I$ La fucnión alcanza su máximo en el punto final de $I$ (aquí $I=[m,M]=\left[\frac{1}{3},3\right]$ ) $$ \max_{(a,b,c)\in I^3} f=\max_{(a,b,c)\in\{m,M\}^3} f. $$ Por lo tanto, sólo tenemos que calcular estos 8 valores y elegir el máximo.

Detalles: considerar cualquier punto $(a,b,c)$ , arreglar $b$ y $c$ y considerar $f$ en función de $a$ . Obtenemos $$ f(a,b,c)\leq\max\{f(m,b,c),f(M,b,c)\}, $$ por lo que podemos suponer que $a\in\{m,M\}$ . Ahora repite este argumento para $b$ y $c$ .