Encuentre vinculado a la suma de las raíces cuadradas

Question

Deje $a_1,...,a_n$ ser números reales, tal que $a_1+...+a_n=A$.

¿Qué podemos decir acerca de $\sqrt{a_1}+...+\sqrt{a_n}$?

Me gustaría enlazado desde arriba así suma en términos de $A$.

Answer 1

Asumiendo $a_i\geq 0$, usted podría considerar el vector $x=(\sqrt{a_1},...,\sqrt{a_n})$, entonces usted tiene $||x||_2^2 = A$, y Hölder la desigualdad da $||x||_1 \leq \sqrt{n} ||x||_2$, de la que se obtiene la envolvente de

$\sqrt{a_1}+...+\sqrt{a_n} \leq \sqrt{n A}$

Answer 2

Sugerencia: Utilice el Cauchy-Schwarz Desigualdad. Tenemos $$\left(\sum\sqrt{a_i}\right)^2\le n\sum a_i.$$ (En la nota del artículo vinculado, $x_i=\sqrt{a_i}$$y_i=1$.)

Answer 3

Ya estamos tomando la raíz cuadrada de cada uno de los $a_i$, vamos a suponer que $a_i\ge0$.

El uso de Jensen la Desigualdadde los rendimientos $$ \left(\frac1n\sum_{i=1}^n\sqrt{a_i}\right)^2\le\frac1n\sum_{i=1}^n\left(\sqrt{a_i}\right)^2=\frac1n\sum_{i=1}^na_i\tag{1} $$ Reordenación de las $(1)$ da $$ \sum_{i=1}^n\sqrt{a_i}\le\sqrt{n\sum_{i=1}^na_i}\etiqueta{2} $$

Answer 4

Sólo por diversión, usted también puede mirar en términos de estadísticas elementales. Para $k=1,\dots,n$ deje $x_k=\sqrt{a_k}$. Deje $\bar x$ la media de los $x_k$. Fijo $\bar x$, la varianza de la $x_k$ se minimiza cuando se $x_1=\ldots=x_n$, cuando se es $0$. Pero la varianza es $\frac1n\sum_k x_k^2-\bar x^2$, por lo que el valor mínimo de $\sum_k x_k^2$$n\bar x^2$, y se produce cuando $x_1=\ldots=x_n$. Fijo $A=\sum_k x_k^2$, por lo tanto, el valor máximo de $\bar x$$\sqrt{A/n}$, y, por tanto,$\sum_k x_k\le \sqrt{nA}$, con igualdad de al $x_1=\ldots=x_n$.