¿Grupo fundamental de un triángulo con los tres vértices identificados?

Question

¿Cuál es el grupo fundamental de un triángulo con los tres vértices identificados?

Llamo $X$ el espacio anterior. Tomo $U$ sea un disco dentro del triángulo y $V$ el complemento de un disco dentro del triángulo (los tomo para que $U \cap V$ es homotópicamente equivalente a un círculo). Por lo tanto, $\pi_1(U \cap V)=\mathbb{Z}$ , $\pi_1(U)=(0)$ y $\pi_1(V)=F^3$ es el grupo libre en $3$ generadores (es decir, está generado por las tres aristas). Entonces, por Van Kampen

$$ \pi_1(X)=F^3/N $$

pero no puedo expresar el subgrupo normal $N$ . Mi intuición me dice que tengo que obtener $\pi_1(X)=<a,b,c: abc=1>$ es decir, el grupo libre sobre dos generadores. ¿Es correcta mi intuición? ¿Pueden ayudarme, por favor?

Answer 1

No estoy seguro de qué versión del teorema de van Kampen estás usando, pero en caso de que estés usando la versión combinatoria, entonces dice exactamente que $\pi_1(X)=\langle x,y,z\mid i(w)=1\rangle$ , donde $i:\pi_1(U\cap V)\to\pi_1(X)$ es inducido por la inclusión y $w\in\pi_1(U\cap V)\cong\mathbb Z$ es el generador. Aquí $w=[\gamma]$ , donde $\gamma$ es el bucle alrededor del círculo en la intersección. Obsérvese que este bucle es homotópico al seguir las tres aristas una tras otra, por lo que $i(w)=xyz$ que es exactamente el grupo que has mencionado.

Como nota al margen, me imagino el espacio $V$ de la siguiente manera:

Answer 2

Existe un resultado general que implica una construcción básica sobre los groupoides: dado un groupoide $G$ con el conjunto de objetos $S$ y una función $f: S \to T$ a un conjunto $T$ se puede construir un nuevo grupo, por ejemplo $f_*(G)$ con el conjunto de objetos $T$ y con una propiedad universal que se expresa muy bien diciendo que existe el siguiente diagrama de empuje de groupoides, en el que $D(S)$ es el grupúsculo discreto sobre $S$ :

$$ \begin{matrix} D(S) & \xrightarrow{D(f)} & D(T) \\ \downarrow && \downarrow\\ G & \xrightarrow{\bar{f}} & f_*(G) \end{matrix} $$

Esta idea se debe a Philip HIggins, véase su libro descargable Categorías y Groupoides .

Un caso particular es cuando $T$ es un singleton, cuando obtenemos el grupo universal $U(G)$ del grupúsculo $G$ . Si todos los grupos de vértices de $G$ son triviales, entonces $U(G)$ es un grupo libre.

Casos especiales de esta construcción $U(G)$ son productos libres de grupos, y grupos libres.

Este resultado tiene aplicaciones topológicas que se dan en la sección 9.1 del libro descargable Topología y Groupoides como en las ediciones de 1968 y 1988 con títulos diferentes. Hay que introducir la noción de grupo fundamental $\pi_1(X,S)$ en un conjunto $S$ de puntos base para tratar adecuadamente la situación cuando se está identificando una parte o la totalidad de un conjunto discreto $S$ de puntos. (Por supuesto, se puede eludir el problema, pero la idea es "hacer coincidir el álgebra con la geometría, no forzar la geometría en un modo particular simplemente porque ese modo es más familiar", como me dijo Philip Hall).

He publicado esta idea de $\pi_1(X,S)$ en 1967 para tener una versión del Teorema de van Kampen que calculara el grupo fundamental del círculo, que es, al fin y al cabo, el ejemplo básico en topología algebraica. No sé por qué esta idea, casi 50 años después, se considera "ideosincrática".

Compara con esto Preguntas y respuestas de mathoverflow .

Answer 3

No estoy seguro de qué afirmación de Van Kampen estás utilizando, pero a grandes rasgos, $N$ se genera mediante bucles de la forma $i(\omega)j(\omega)^{-1}$ donde $i$ y $j$ son inducidas por las inclusiones $U\cap V\to V$ y $U\cap V\to U$ respectivamente y $\omega\in\pi_1(U\cap V)$ . Para un generador canónico $\omega_0\in\pi_1(U\cap V)$ (es decir, un bucle que parece un círculo en $U\cap V$ ), tenemos que $i(\omega)j(\omega)^{-1}=i(\omega)=abc$ (donde $a,b,c$ denotan los generadores para su $F^3$ que corresponden efectivamente a las aristas del triángulo; nótese que podemos "estirar" $\omega_0$ en $V$ para "estar en los bordes"). Por lo tanto, obtenemos $\pi_1(X)=\langle a,b,c\mid abc=1\rangle$ .