Clase de cohomología de la diagonal

Question

Tengo una pregunta bastante básica:

dada es una variedad compleja de dimensión n o una variedad proyectiva suave sobre $k$ (char 0, algebraicamente cerrado). Entonces se suele hablar de "la clase de cohomología de la diagonal". ¿Puedes explicarme cómo se realiza esta clase, es decir, en qué grupo de cohomología cae, cómo se construye formalmente, etc.

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\Delta : M \to M \times M$ sea el mapa diagonal. Dado que $M$ es una variedad compleja, digamos de dimensión compleja $n$ tiene una clase de orientación canónica $[M] \in H_{2n}(M, \mathbb{Z})$ . Entonces se puede tomar el pushforward en homología para obtener $\Delta_\ast [M] \in H_{2n}(M \times M, \mathbb{Z})$ . Si $M$ es compacto, entonces $M \times M$ también es compacto y se puede utilizar la dualidad de Poincare para obtener un elemento en $H^{2n}(M \times M, \mathbb{Z})$ . Esta es la clase de cohomología de la diagonal.

En términos más generales, las palabras que hay que buscar son teorema de isomorfismo de Thom o secuencia de Gysin o mapa de Gysin. La inclusión $\Delta$ induce un mapa de Gysin $\Delta_\ast: H^i(M) \to H^{i-(-2n)}(M \times M)$ . La clase de cohomología de la diagonal es la imagen de $1 \in H^0(M)$ bajo este mapa. Puedes hacer lo mismo en $K$ -teoría, grupos Chow, etc.

Answer 2

Responderé por los colectores cerrados lisos. También supondré que se eligen métricas riemannianas en todas partes. (El espacio de tales métricas es convexo y, por lo tanto, contraíble, por lo que cualquier cosa que dependa de la métrica será normalmente canónica hasta la homotopía). Supongamos que tenemos una incrustación suave $f:N\to M$ de codimensión $d$ . Esto da una $d$ -haz vectorial de dimensiones $\nu_f$ en $N$ cuya fibra en $x$ es el complemento ortogonal de $f_*(T_xN)$ en $T_{f(x)}M$ . A continuación, para $(x,v)\in E(\nu_f)$ Defino $g_1(x,v)$ para ser $\alpha(1)$ , donde $\alpha:\mathbb{R}\to M$ es la geodésica con $\alpha(0)=f(x)$ y $\dot{\alpha}(0)=v$ . Este mapa $g_1:E(\nu_f)\to M$ será una incrustación en alguna vecindad de la sección cero. Elija una incrustación suave $h:E(\nu_f)\to E(\nu_f)$ cuya imagen está cerca de la sección cero, y que es la identidad en alguna vecindad aún más pequeña de la sección cero. Ahora pongamos $g=g_1\circ h:E(\nu_f)\to M$ Esto es lo que se llama un vecindad tubular de $f$ . Podemos definir un mapa $f^!:M_\infty\to E(\nu_f)_\infty$ de compactaciones de un punto por $f^!(g(x,v))=(x,v)$ y $f^!(m)=\infty$ siempre que $m$ no es a imagen y semejanza de $g$ . Esto se denomina Construcción Pontrjagin-Thom . Esto a su vez da un mapa $\widetilde{H}^*(E(\nu_f)_\infty)\to\widetilde{H}^*(M_\infty)$ . Ahora $M$ es compacto, por lo que el punto $\infty\in M_\infty$ está aislado, por lo que $\widetilde{H}^*(M_\infty)=H^*(M)$ . Por otro lado, $E(\nu_f)_\infty$ se conoce también como el espacio Thom $N^{\nu_f}$ Así que (siempre que $\nu_f$ está orientado) existe un elemento canónico $u\in \widetilde{H}^d(N^{\nu_f})$ (llamado Clase Thom ) tal que $\widetilde{H}^d(N^{\nu_f})$ es generado libremente por $u$ como módulo sobre $H^*(N)$ . Ahora tenemos un elemento $v=(f^!)^*(u)\in H^d(M)$ se denomina clase de cohomología de $N$ (o de $f$ ) en $M$ .

La clase de cohomología de la diagonal se obtiene aplicando este procedimiento a la incrustación de la diagonal $f:M\to M^2$ definido por $f(m)=(m,m)$ .

Answer 3

He aquí una respuesta a la pregunta de Descartes en el caso $X$ es una colecta compacta de Kahler y el coeficiente es $\mathbb{Q}$ : Entonces podemos trabajar con el coeficiente $\mathbb{C}$ también. Esta respuesta utiliza la cohomología de Rham.

Si $X$ es una variedad compacta de Kahler de dimensión compleja $n$ entonces $\Delta_X\subset X\times X$ es un ciclo de dimensión (real) $2n$ y, por tanto, actúa sobre las superficies lisas $2n$ formularios en $X\times X$ por la integración. Además, Delta no tiene frontera, por lo que es cerrado (por el teorema de Stokes). Por lo tanto, representa una clase de homología en $H_{2n}(X\times X)$ . Ahora, $\Delta_X$ actúa sobre una forma por integración en la restricción de dicha forma sobre $\Delta_X$ . Desde $\Delta_X$ es una variedad compleja de dimensión $n$ , si $\varphi$ es un $(p,q)$ formulario en $X\times X$ con $p+q=2n$ su restricción a $\Delta_X$ es distinto de cero si $p=q=n$ . Esto demuestra que $\Delta_X$ está en $H_{n,n}(X)$ y así su dual de Poincare representa una clase de cohomología en $H^{n,n}(X)$ .