Trampa lógica en la topología R

Question

Sabemos que en los espacios métricos, las propiedades Bolzano-Weierstrass (BW) (cada conjunto infinito posee un punto de cluster) y Borel-Lebesgue (BL) son equivalentes, es decir, la compacidad y la compacidad contable son equivalentes (y también la compacidad secuencial).

En el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ El teorema de BW se suele escribir: "Todo conjunto infinito acotado tiene un punto de agrupación". Así que según la equivalencia, podemos decir que en $\mathbb{R}$ "cualquier conjunto acotado verifica (BL)", lo cual no es cierto porque sabemos que sólo los conjuntos acotados y cerrado conjuntos hacen...

¿Pueden ayudarme a encontrar dónde me equivoco entre esto...?

EDIT : para ser más precisos, aquí está el razonamiento equivocado:

"En $\mathbb{R}$ , la colección de todos los conjuntos infinitos acotados verifica la propiedad (BW); como esta propiedad es equivalente a la propiedad (BL) y como ésta significa compacidad, todos los conjuntos infinitos acotados son compactos".

Answer 1

Una secuencia de puntos en un subconjunto acotado pero no cerrado tendrá un punto de agrupación en $\mathbb R$ pero el punto de cluster puede no ser miembro del subconjunto -- por lo que es no necesariamente compacta secuencialmente.

Answer 2

Bien, gracias a Henning Makholm, me he dado cuenta de mi error. La definición de un punto de agrupación se refiere a un subconjunto $E$ de un espacio topológico $X$ mientras que la noción de compacidad se refiere a la topología en sí misma, es decir $E$ es un conjunto compacto ("de $X$ ") si y sólo si es compacto como espacio topológico para la topología del subespacio. Por lo tanto, para la compacidad, la propiedad (BW) debe estudiarse desde el punto de vista del espacio topológico, y no desde el punto de vista de $E$ siendo un subconjunto de $X$ .

Por ejemplo, en $X=\mathbb{R}$ es cierto que cualquier subconjunto infinito de $E=]0,1]$ tiene un punto de agrupación en $X$ incluso el subconjunto infinito $A=\{\frac{1}{n} / n\in\mathbb{N^*}\}$ que tiene $0$ como punto de agrupación en $X$ . Así que $E$ verifica en $X$ la propiedad que se encuentra en (BW), pero $E$ no es compacto (o "no es un subconjunto compacto de $X$ ") porque como espacio topológico, $E$ no cumple (BW) ya que el conjunto infinito $A$ no tiene ningún punto de agrupación en $E$ .