Sabemos que existen ultrafiltros libres sobre números naturales. Me gustaría ver un ejemplo de un ultrafiltro libre sobre números naturales.
Respuestas
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Supongo que querías decir "gratis". ultra filtro".
Es una pregunta muy razonable. Desgraciadamente, en un sentido muy real no podemos exhibir una ejemplo concreto de un ultrafiltro libre en $\mathbb{N}$ - es consistente con ZF (= teoría de conjuntos sin el axioma de elección) que no hay ultrafiltros libres en $\mathbb{N}$ . Cualquier ultrafiltro libre tiene que ser "difícil de definir" de varias maneras precisas (esto se vuelve un poco técnico - el campo relevante es la "teoría descriptiva de conjuntos").
La situación es similar con respecto a una serie de otros tipos de objetos cuya existencia depende del axioma de elección, como los conjuntos no medibles (como en el Paradoja de Banach-Tarski ).
user2318170
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Editar: La pregunta originalmente pedía un ejemplo de un filtro libre sobre los números naturales.
El filtro $\{X\subseteq \mathbb{N}\mid \mathbb{N}\setminus X\text{ is finite}\}$ es gratis. Esto se conoce como el filtro cofinito, o el filtro Fréchet.
Tal vez querías preguntar por un ejemplo de una ultrafiltro ? No se puede dar ningún ejemplo realmente explícito - no hay ninguna prueba constructiva de la existencia de un ultrafiltro libre en $\mathbb{N}$ .
