Derivación de las ecuaciones de Laue

Question

El artículo de Wikipedia sobre el Ecuaciones de Laue los presenta de la siguiente manera:

Dejemos que $\mathbf{a}\, ,\mathbf{b}\, ,\mathbf{c}$ sean los vectores primitivos de la red cristalina $L$ cuyos átomos se encuentran en los puntos $\mathbf x = p\,\mathbf a+q\,\mathbf b+r\,\mathbf c$ que son combinaciones lineales enteras de los vectores primitivos.

Dejemos que $\mathbf{k}_{\mathrm{in}}$ sea el vector de onda del rayo entrante (incidente), y sea $\mathbf k_{\mathrm{out}}$ sea el vector de onda del haz saliente (difractado). Entonces el vector $\mathbf k_{\mathrm{out}} - \mathbf k_{\mathrm{in}} = \mathbf{\Delta k}$ se llama "vector de dispersión" (también llamado vector de onda transferido) y mide el cambio entre los dos vectores de onda.

Las tres condiciones para que el vector de dispersión $\mathbf{\Delta k}$ deben satisfacer, denominadas "ecuaciones de Laue", son las siguientes: los números $h, k, l$ determinado por las ecuaciones

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{\Delta k}=2\pi h$$ $$\mathbf{b}\cdot\mathbf{\Delta k}=2\pi k$$ $$\mathbf{c}\cdot\mathbf{\Delta k}=2\pi l$$

deben ser números enteros. Cada elección de los números enteros $(h,k,l)$ llamados índices de Miller, determina un vector de dispersión $\mathbf{\Delta k}$ . Por lo tanto, hay infinitos vectores de dispersión que satisfacen las ecuaciones de Laue. Forman un entramado $L^*$ , llamada la red recíproca de la red cristalina. Esta condición permite que un solo haz incidente se difracte en infinitas direcciones. Sin embargo, los haces que corresponden a índices de Miller elevados son muy débiles y no pueden ser observados. Estas ecuaciones son suficientes para encontrar una base de la red recíproca, a partir de la cual se puede determinar la red cristalina. Este es el principio de la cristalografía de rayos X.

El mismo artículo proporciona la derivación matemática de la siguiente manera:

Los haces incidentes y difractados son excitaciones de ondas planas

$${\displaystyle f_{\mathrm {in} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {in} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} )}$$

$${\displaystyle f_{\mathrm {out} }(t,\mathbf {x} )=A_{\mathrm {out} }\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} ).}$$

de un campo que por simplicidad tomamos como escalar, aunque el caso principal de interés es el campo electromagnético, que es vectorial.

Las dos ondas se propagan por el espacio de forma independiente, excepto en los puntos de la red, donde resuenan con los osciladores, por lo que su fase debe coincidir. Por lo tanto, para cada punto

$${\displaystyle \cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} )=\cos(\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} ),}$$

o, de forma equivalente, debemos tener

$${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} =\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +2\pi n,}$$

para algún número entero $n$ , eso depende del punto $\mathbf{x}$ . Simplificando obtenemos

$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =(\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} })\cdot \mathbf {x} =2\pi n.}$$

Ahora, basta con comprobar que esta condición se cumple en los vectores primitivos ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ (que es exactamente lo que dicen las ecuaciones de Laue), porque entonces para los otros puntos ${\displaystyle \mathbf {x} =p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} }$ tenemos

$${\displaystyle \mathbf {\Delta k} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {\Delta k} \cdot (p\,\mathbf {a} +q\,\mathbf {b} +r\,\mathbf {c} )=p\,2\pi h+q\,2\pi k+r\,2\pi l=2\pi (hp+kq+lr)=2\pi n,}$$

donde $n$ es el número entero ${\displaystyle hp+kq+lr}$ .

Esto garantiza que, si se cumplen las ecuaciones de Laue, la onda entrante y la saliente tienen la misma fase en todos los puntos de la red cristalina, por lo que la oscilación de los átomos, que sigue a la onda entrante, puede generar al mismo tiempo la onda saliente.

Hay dos puntos que no tengo claros:

1. Las dos ondas se propagan por el espacio de forma independiente, excepto en los puntos de la red, donde resuenan con los osciladores, por lo que su fase debe coincidir.

¿Qué significa "excepto en los puntos de la red, donde resuenan los osciladores"? ¿A qué osciladores se refiere? ¿Y cómo se representa matemáticamente este caso excepcional (es decir, cómo se representa de forma diferente a la situación típica)?

2. $${\displaystyle \omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }\cdot \mathbf {x} =\omega \,t-\mathbf {k} _{\mathrm {out} }\cdot \mathbf {x} +2\pi n,}$$

¿Por qué es $2\pi n$ ¿que se añade aquí? Me doy cuenta de que $\varphi = \omega \,t-\mathbf{k}_{\mathrm {out}} \cdot \mathbf{x}$ es la fase de la onda, pero no tengo del todo claro por qué $2\pi$ se añadió.

Agradecería que la gente se tomara la molestia de aclarar estos dos puntos.

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EDITAR

Creo que he encontrado la respuesta a mi segunda pregunta. En una sección sobre las ecuaciones de Laue, mi libro de texto dice lo siguiente:

La interferencia constructiva se producirá en una dirección tal que las contribuciones de cada punto de la red difieran en fase por $2\pi$ .

Entonces, ¿tengo razón al pensar que la adición de $2\pi n$ ¿se debe a la interferencia constructiva? Y asumo que esto también es cierto para los múltiplos enteros de $2\pi$ (así $2\pi n$ ), ¿verdad?

Answer 1

Esto es más un problema de redacción que de física. Para resolverlo, considere un oscilador armónico simple , es decir, una partícula de masa $m$ en un muelle sin peso con una constante de muelle $D$ . Este sistema tiene una frecuencia propia $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}$ que también se llama frecuencia de resonancia. Si excitamos un oscilador armónico, éste siempre oscila con la frecuencia de la excitación. Así, si aplicamos una fuerza externa $F(t) = F_0 \, \cos(\omega t)$ el oscilador armónico oscila con la frecuencia $f_{\textrm{force}} = \frac{\omega_{\textrm{force}}}{2\pi} = \frac{\omega}{2\pi}$ . La amplitud de la oscilación está sustancialmente influenciada por la diferencia $\Delta f = f_{\textrm{force}} - f_0$ . Si esta diferencia es nula, la amplitud de la oscilación es máxima. Así, si alguien dice "si la frecuencia de excitación está en resonancia con el oscilador", significa que la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia de resonancia del oscilador. Por lo tanto, el la amplitud del oscilador es máxima .

Ahora, consideremos su problema. Tienes dos ondas que se propagan por el espacio. En cada punto del espacio estas dos ondas se suman. Así, la amplitud total viene dada por \begin{align} A_{tot}(t, x) &= A_1(t, x) + A_2(t, x) \\ &= A_1 \cdot \cos(k x - \omega t+ \varphi_{1}(x)) + A_2 \cdot \cos(k x - \omega t + \varphi_{2}(x)) \end{align} Yo lo escribo en 1D, pero esto es así en general, sólo que no quiero escribir todos los vectores. Si consideramos un punto determinado en el espacio y en el tiempo, la expresión $k x - \omega t$ es la misma para ambas ondas. Por lo tanto, este término oscilante no es de interés y lo dejamos de lado -- matemáticamente, se pueden utilizar identidades trigonométricas para obtener un prefactor común. Así, si dividimos la amplitud y sólo consideramos la amplitud común $A = \min\{A_1, A_2\}$ de cada término, obtenemos $$ A_{common} = A \cdot \cos(\varphi_{1}(x)) + A \cdot \cos(\varphi_{2}(x)) $$ Ahora, sin pérdida de generalidad, podemos elegir $\varphi_1(x) = 0$ y $\varphi_2(x) = \Delta \varphi(x) = \varphi_{2}(x) - \varphi_{1}(x)$ . Esto simplifica la relación a $$ A_{common} = A \big[ 1 + \cos(\Delta \varphi) \big] $$ Por lo tanto, la diferencia de fase $\Delta \varphi$ determina la amplitud máxima de la oscilación. Algunos dicen que las dos ondas están en resonancia si su diferencia de fase relativa desaparece y, por tanto, la amplitud de la oscilación es máxima.

La última pieza que falta para su respuesta es que a menudo imaginamos que el espacio está formado por osciladores invisibles.

Las dos ondas se propagan por el espacio de forma independiente, excepto en los puntos de la red, donde resuenan con los osciladores, por lo que su fase debe coincidir.

Esto significa que dos ondas independientes (como las descritas anteriormente) satisfacen $\Delta \varphi = n \cdot 2\pi$ en las posiciones en el espacio, donde interfieren constructivamente. Sin embargo, en lugar de utilizar esta formulación, el autor imagina osciladores invisibles en el espacio. Ahora, en las posiciones de las interferencias constructivas, el oscilador invisible es excitado por las dos ondas independientes. Cuando estas dos ondas están en fase (lo que significa que su diferencia de fase relativa es $\Delta \varphi = n \cdot 2\pi$ ) interfieren constructivamente. Así, la amplitud resultante del oscilador armónico es máxima.