Dado $\tan(x) = 2\sqrt2 $ , $ x\in[ \pi , \frac{3\pi}{2}] $ ¿Cuál es el valor exacto de $\sin(3x)$ ?

Question

Dado $\tan(x) = 2\sqrt2 $ , $ x\in[ \pi , \frac{3\pi}{2}] $

¿Cuál es el valor exacto de $\sin(3x)$ ?

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Lo que he hecho:

Dado $\tan(x) = 2\sqrt2 $ Dibujé un triángulo rectángulo y encontré que la hipotenusa era $3$ así que $\sin(x) = \frac{2\sqrt2}{3}$

Recordando que $$\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)$$

Subcontratación $\sin(x) = \frac{2\sqrt2}{3}$ y $\sin^3(x) = \frac{16\sqrt2}{27}$

$$\sin(3x) = 3(\frac{2\sqrt2}{3}) - 4(\frac{16\sqrt2}{27})$$

$$ \sin(3x) = {2\sqrt2} - \frac{64\sqrt2}{27} $$

$$ \sin(3x) = \frac{-10\sqrt2}{27} $$

¿Es esto correcto? Si es así, ¿habría alguna otra forma de resolverlo?

Answer 1

$$\sin^2x=\frac1{1+\cot^2x}=\frac1{1+\frac1{8}}=\frac89\implies \sin x=-\frac{2\sqrt2}3\,,\,\,\text{since}\;\;x\in[\pi,\,3\pi/2]\implies$$

$$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x=-2\sqrt2+\frac{64\sqrt2}{27}=\frac{10\sqrt2}{27}$$

desde

$$\pi\le x\le\frac{3\pi}2\implies3\pi\le 3x\le4\pi+\frac\pi2$$

Answer 2

Tu estrategia es correcta, pero no has tenido en cuenta que $x \in \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right] \implies \sin x < 0$ .

En cuanto a un método alternativo:

Utilizamos la identidad $$\sin(3x) = 3\cos^2x\sin x - \sin^3x$$ Utilizando la identidad $\sec^2x = \tan^2x + 1$ rinde $$\sec^2x = (2\sqrt{2})^2 + 1 = 8 + 1 = 9 \implies \cos^2x = \frac{1}{\sec^2x} = \frac{1}{9}$$ Utilizando la identidad pitagórica $\sin^2x + \cos^2x = 1$ rinde $$\sin^2x = 1 - \cos^2x$$ Desde $x \in \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$ , $\sin x < 0$ . Por lo tanto, $$\sin x = -\sqrt{1 - \cos^2x} = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ Sustitución en la identidad $\sin(3x) = 3\cos^2x\sin x - \sin^3x$ rinde $$\sin(3x) = 3\left(\frac{1}{9}\right)\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) - \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^3 = -\frac{6\sqrt{2}}{27} + \frac{16\sqrt{2}}{27} = \frac{10\sqrt{2}}{27}$$