BU con el producto tensor H-estructura de espacio

Question

Hola,

Me encontré con el espacio $BU_\otimes$ cuando se lucha con trenzado de K-teoría. Segal demostrado que este es un H-espacio, ¿verdad? He leído una docena de veces, ahora que el grupo $[X, BU_\otimes]$ consiste en el vector de paquetes de dimensión virtual 1. Puedo ver claramente la semi-estructura de grupo, pero lo hace a la inversa de un paquete?

Saludos cordiales, Ulrich Pennig

Answer 1

Voy a escribir $U(X)=[X,BU_\otimes]$. Por lo $U(X)\subset K(X)=[X,Z\times BU]$ es el multiplicatively cerrado subconjunto correspondiente a "virtual paquetes de rango 1". Del mismo modo, voy a escribir $I(X)=[X,BU]\subset K(X)$ para el ideal de la "virtual paquetes de la fila 0". Hay un bijection $a\mapsto 1+a$$I(X)$$U(X)$.

He aquí la afirmación: si $X$ es compacto (digamos que es de un número finito de CW-complejo de dimensión$n$), $I(X)$ es nilpotent ideal (de hecho, $I(X)^{n+1}=0$). Este es un genérico de hecho sobre multiplicativo cohomology teorías, y puede resultar en un número de maneras; puede pensar en ello en términos de la multiplicación de las propiedades de la Atiyah-Hirzebruch espectral de la secuencia, por ejemplo.

Para tal $X$, es claro que los elementos de la $1+a\in U(X)$ son invertible, dada por la serie de $(1+a)^{-1}=1+a+a^2+\cdots$ que termina desde $a\in I(X)$ $I(X)$ es nilpotent.

Para infinitas dimensiones $X$, necesita argumentar un poco más difícil. Si $X=\lim_{\to} X_i$ cuando la $X_i$ son finitos CW-complejos, entonces hay una surjection $K(X)\to \lim_{\leftarrow} K(X_i)$, lo que restringe a surjections para$I(X)$$U(X)$. El núcleo es una $\lim^1$plazo. Si el $\lim^1$plazo desaparece, entonces es claro que los elementos de la $U(X)$ son invertible, ya que sus imágenes en el $U(X_i)$ es invertible. Es suficiente para comprobar que el $\lim^1$-se desvanece en el caso de que $X=BU_\otimes$, que es un estándar de cálculo.