Derivada parcial de $ (\mathbf a-\mathbf x)^T\mathbf M^{-1}(\mathbf a-\mathbf x)$

Question

Calcula:

$$\frac{\partial ((\mathbf a-\mathbf x)^T\mathbf M^{-1}(\mathbf a-\mathbf x))}{\partial \mathbf x}$$

donde $\mathbf a$ y $\mathbf x$ son todos $d$ vector columna de dimensión, $\mathbf M$ es un $d\times d$ matriz; $\mathbf a$ y $\mathbf M$ no son función de $\mathbf x$

Lo que he obtenido es: $(\mathbf M^{-1}+(\mathbf M^{-1})^T)(\mathbf a - \mathbf x^T)$ . ¿Es eso cierto?

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Por cierto, ¿qué es Notación del numerador y Notación de la disposición del denominador ? ¿Cómo saber cuál utilizar?

Answer 1

Su respuesta es incorrecta, ya que no se puede añadir ${\bf x}^T$ a $\bf{a}$ . En cambio, considera que:

$$({\bf A x})_{i} =\sum_j A_{ij} x_j $$

Pues eso: $${\bf x}^T{\bf A x} =\sum_{i}x_i\left(\sum_j A_{ij}x_j\right)$$ Y: $$\frac{\partial }{\partial x_k}\left({\bf x}^T{\bf A x}\right) = \frac{\partial }{\partial x_k}\left( \sum_{i\neq k}x_i\left(\sum_j A_{ij}x_j\right) + x_k\left(\sum_j A_{kj}x_j\right) \right) $$

$$=\sum_{i\neq k}x_iA_{ik} + \sum_{i\neq k} A_{ki}x_i+2A_{kk} x_k=(({\bf A} + {\bf A^T}){\bf x})_{k}$$ O: $$\frac{\partial }{\partial x_k}\left({\bf x}^T{\bf A x}\right) =\left({\bf A} + {\bf A^T}\right){\bf x}$$ Por lo tanto su en su caso, usted debe obtener: $$\left({\bf M}^{-1} + {\bf M}^{-T}\right)({\bf x}-{\bf a})$$ Obsérvese que podríamos haber decidido de forma equivalente escribir esto como $$({\bf x}-{\bf a})^T\left({\bf M}^{-1} + {\bf M}^{-T}\right)$$ ¿Cuál es la correcta? Ambas tienen los mismos valores, pero una es un vector columna y la otra es un vector fila. Uno podría definir la derivada de un escalar por un vector como una fila o una columna, y esta elección es exactamente la diferencia entre la "notación del numerador" y la "notación del denominador". La elección es arbitraria - diferentes autores eligen de forma diferente, pero es importante que se elija de forma coherente.