Notación correcta para las condiciones compuestas de las variables aleatorias

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria discreta, y $P(X = x)$ es su función de masa de probabilidad de un experimento binomial.

Si quiero la probabilidad de obtener entre 5 y 10 aciertos, escribo $P(4<X<11)$ .

Sin embargo, ¿qué pasa si quiero o bien entre 5 y 10 o ¿entre 15 y 20?

Se me ocurre:

$P(4<X<11\vee14<X<21)$

$P(4<X<11\cup14<X<21)$

$P(X=x:4<x<11\vee14<x<21)$

¿Cómo se escribiría y es aceptable el uso de operadores lógicos ya que, en los experimentos de probabilidad, se utiliza la notación de conjuntos la mayor parte del tiempo?

Answer 1

En probabilidad se suele trabajar con eventos. En esencia, el operador de probabilidad $P$ se define para conjuntos, es decir, en su caso tenemos el conjunto $A = \{ 4 < X < 11\}$ y el conjunto $B = \{ 14 < X< 21\}$ . El funcionamiento del operador de probabilidad es que toma en un conjunto por ejemplo $$P( 4 < X < 11 ) = P(A) = P( \{ 4 < X < 11\}),$$ que es todo notablemente lo mismo. Ahora bien, utilizando la teoría de conjuntos una combinación (cualquiera) de ambos eventos es la unión, a saber $C :=A \cup B = \{ 4 < X < 11 \} \cup \{ 14 < X < 21\}$ . Este nuevo conjunto $C$ es precisamente el evento en el que se produce A o B. Por lo tanto, en notación correcta tenemos $$ P(C) = P\left(\{ 4 < X < 11 \} \cup \{ 14 < X < 21\}\right). $$ En la teoría de la probabilidad no se utilizan operadores lógicos sino sólo eventos, en algunos libros más básicos puede ser $\bf{defined}$ que efectivamente $$P\left(\{ 4 < X < 11 \} \cup \{ 14 < X < 21\}\right) = P( (4 < X < 11) \lor (14 < X < 21)). $$ O alguna variación de lo anterior, pero no es la notación típica. Observe que he utilizado $\lor$ ya que es el operador lógico de or.