Tengo una pregunta sobre las normas de $\Bbb R^{n}$ y demostrar la continuidad de las funciones multivariables. En concreto, supongamos que tenemos $f: \Bbb R^{2} \to \Bbb R$ por ejemplo. Para demostrar $f$ es continua en algún $x \in \Bbb R^{2}$ necesitamos mostrar para cada $\epsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ tal que $|| x - y || < \delta$ implica $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ .
Mi primera pregunta con respecto a lo anterior es:
Dado que todas las normas posibles sobre $\Bbb R^{2}$ son equivalentes, ¿es normal que utilicemos cualquier norma sobre $\Bbb R^{2}$ que hace que la prueba anterior sea la más fácil? Tengo un ejemplo de una prueba que se me ocurrió a continuación para ilustrar lo que quiero decir (y me gustaría que se comprobara).
Ahora, mi segunda pregunta es sobre la equivalencia de las métricas:
Considere dos métricas $d_{1}$ y $d_{2}$ en algún espacio $X$ y considerar las topologías de cada métrica. Si tenemos $d_{1}(x,y) \leq c d_{2}(x,y)$ para alguna constante $c > 0$ ¿implica esto la topología de $d_{1}$ es estrictamente más fina que la topología de $d_{2}$ ? Parece que no puedo demostrar esto. Supongo que tendría que mostrar para cualquier bola abierta alrededor de $x \in X$ en el $d_{2}$ métrica, podemos encontrar una bola abierta alrededor de $x$ en el $d_{1}$ métrica contenida en la primera bola abierta. Creo que esto es engañosamente fácil, pero no he sido capaz de hacerlo.
Finalmente, mi última pregunta se refiere a si la siguiente prueba es correcta o no:
Prueba $f(x,y) = xy$ es continua en cada $(x_{0},y_{0}) \in \Bbb R^{2}$ . Para demostrarlo, optaré por utilizar el $|| \cdot || _{\infty}$ norma sobre $\Bbb R^{2}$ . Sea $\epsilon > 0$ . Entonces $|xy - x_{0}y_{0}| = |xy - xy_{0} + xy_{0} - x_{0}y_{0}| \leq |x||y - y_{0}| + |y_{0}| |x - x_{0}| \leq (|x| + |y_{0}|)||(x,y) - (x_{0},y_{0})||_{\infty}$ . Si ninguno de los dos $|x|$ ni $|y_{0}|$ igual $0$ y, a continuación, elija $\delta = \dfrac{\epsilon}{|x| + |y_{0}|}$ .
