Encontrar $ \sin \left( \theta _{1}\right) ^{2}+ \sin \left( \theta _{2}\right) ^{2}+ \sin \left( \theta _{3}\right) ^{2}=? $

Question

Este problema he intentado resolver mediante el uso de muchas trigeometric identidad, pero no pude resolver... $$\sin \left( \theta _{1}\right) + \sin \left( \theta _{2}\right) + \sin \left( \theta _{3}\right) = 0 $$ $\&$ $$ \cos \left( \theta _{1}\right) + \cos \left( \theta _{2}\right) + \cos \left( \theta _{3}\right) = 0$$... then find $$ \sin \left( \theta _{1}\right) ^{2}+ \sin \left( \theta _{2}\right) ^{2}+ \sin \left( \theta _{3}\right) ^{2}=? $$

Answer 1

Considere el triángulo $A_1A_2A_3$ sobre el plano complejo $\mathbb{C}$ de manera tal que cada una de las $A_i$ está representado por el complejo de número de $\cos\left(\theta_i\right)+\text{i}\,\sin\left(\theta_i\right)$. A continuación, el centroide del triángulo coincide con su circuncentro (como estos vértices se acueste sobre el círculo unitario con centro en el $0$). Por lo tanto, el triángulo es equilátero. Por lo tanto, existe una primitiva raíz cúbica de la unidad $\omega$ tal que $A_2=\omega A_1$$A_3=\omega^2 A_1$. Ahora, la suma de $$\sum_{i=1}^3\,\sin^2\left(\theta_i\right)=\sum_{i=1}^3\,\left(\frac{1-\cos\left(2\theta_i\right)}{2}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^3\,\cos\left(2\theta_i\right)\,.$$ Tenga en cuenta que $\frac{1}{3}\,\sum_{i=1}^3\,\cos\left(2\theta_i\right)$ es, precisamente, la parte real de el centroide del triángulo con vértices $A_1^2$, $A_2^2=\omega^2A_1^2$, y $A_3^2=\omega^4A_1^2=\omega A_1^2$, que también es equilátero con circuncentro en el origen $0$ (como estos vértices se acueste sobre el círculo unitario con centro en el $0$). Es decir, el centro de gravedad de $A_1^2A_2^2A_3^2$$0$, de donde $$\frac{1}{3}\,\sum_{i=1}^3\,\cos\left(2\theta_i\right)=0\,.$$ Ergo, $$\sum_{i=1}^3\,\sin^2\left(\theta_i\right)=\frac32\,.$$

Answer 2

El Uso De Prosthaphaeresis Fórmulas,

$$-\sin\theta_1=2\sin\dfrac{\theta_2+\theta_3}2\cos\dfrac{\theta_2-\theta_3}2\ \ \ \ (1)$$

y

$$-\cos\theta_1=2\cos\dfrac{\theta_2+\theta_3}2\cos\dfrac{\theta_2-\theta_3}2\ \ \ \ (2)$$

Si $\cos\dfrac{\theta_2-\theta_3}2=0,\cos\theta_1=\sin\theta_1=0\implies\cos^2\theta_1+\sin^2\theta_1=0\ne1$

$\implies\cos\dfrac{\theta_2-\theta_3}2\ne0$

$(1)/(2)\implies\tan\theta_1=\tan\dfrac{\theta_2+\theta_3}2$

$\implies\dfrac{\theta_2+\theta_3}2=n\pi+\theta_1$ donde $n$ es cualquier entero

$\implies\theta_2+\theta_3=2n\pi+2\theta_1$

$\implies e^{i(\theta_2+\theta_3)}=e^{i(2n\pi+2\theta_1)}=e^{2i\theta_1}\ \ \ \ (3)$

Usando la fórmula de Euler,

$$e^{i\theta_1}+e^{i\theta_2}+e^{i\theta_3}=0$$

$$0=(e^{i\theta_1}+e^{i\theta_2}+e^{i\theta_3})^2=\sum e^{i2\theta_1}+2\sum e^{i2(\theta_2+\theta_3)}$$

Ahora uso $(3)$ conseguir $$0=\sum e^{i2\theta_1}+2\sum e^{i2\theta_1}$$

Espero que usted pueda llevar a casa desde aquí!