Funciones multivaluadas para Dummies

Question

Llevo un tiempo estudiando análisis complejo, pero todavía no puedo "entender" cómo funcionan las funciones multivaluadas. A pesar de que me lo han explicado muchas veces, mi cerebro no puede procesarlo.

Por ejemplo,

• No sé / entiendo lo que $f(z) = \sqrt{z^2}$ , $g(z) = (\sqrt{z})^2$ son.
• No sé cómo decidir qué rama utilizar cuando veo expresiones como $f(z) = \sqrt{z(z-1)(z-\lambda)}$
• No entiendo cómo funcionan las integrales que implican raíces, especialmente cuando parece que la integral se toma a lo largo de los cortes de rama.

Siento que muchos libros que he visto tratan esto como algo obvio. ¿Hay alguna referencia que realmente profundice en este tema? ¿Algo así como "funciones multivaluadas para dummies"?

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EDITAR:

$g(z) = \sqrt{z}^2 = z$ (con una singularidad extraíble en $z=0$ .)

$f(z) = \sqrt{z^2}$ es una función multivaluada.

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EDIT2:

$f(z) = \sqrt{z(z-1)(z-\lambda)} = \exp(\frac12 \log(g(z)))$

donde

$g(z) = z(z-1)(z-\lambda).$ Dejemos que $z_0$ algún punto que no sea $0, 1, \lambda$ . Entonces, es posible definir $L$ en un pequeño disco alrededor de $z_0$ con

$$L(z) = \ln|z| + i \theta,$$

Si $z_0$ no es un número real negativo, $\theta$ puede ser $[-\pi,\pi]$ . Si $z_0$ es un número real negativo, entonces $\theta$ puede ser $[0,2\pi]$ .

Entonces para $z\ne 0,1,\lambda$ podemos definir

$$\log z = \int_{z_0}^z \dfrac{g'(z)}{g(z)} dz + L(z_0),$$

que es multivalente.

Entonces,

$$\sqrt{g(z)} =\exp(\dfrac{1}{2} \left(\int_{z_0}^z \dfrac{g'(z)}{g(z)} dz + L(z_0)\right))$$

Por el principio de argumentación, se trata de una función de un solo valor sobre $D$ siempre y cuando $D$ no permite la ruta de $z_0$ a $z$ para hacer un bucle alrededor de un número impar de ceros de $g$ . Esto se puede evitar emparejando los ceros con un corte de rama. Para un número impar de ceros, el que sobra puede conectarse al punto en el infinito.

Así que cualquier combinación de cortes de rama que conecte dos de los ceros, y el tercer cero al punto en el infinito hará $\sqrt{g(z)}$ de valor único.

De la misma manera,

$\sqrt[n]{g(z)}$ requerirían los cortes de rama para agrupar $n$ -cero a la vez, para evitar cualquier bucle alrededor de $k$ -cero para $k<n$ . Si hay alguna escasez, $\infty$ dispara una rama cortada hasta el infinito.

Answer 1

En realidad es muy sencillo. Dibuja algunas curvas disjuntas que conecten las singularidades, o comenzando en las singularidades y yendo al infinito, de modo que estas curvas separen el plano en regiones simplemente conectadas. Entonces, en lugar de una "función multivaluada" se tienen varias funciones ordinarias (monovaluadas) en cada región. Estas funciones ordinarias se llaman "ramas" de la función multivaluada. Cuando eliges una rama e intentas cruzar una de tus curvas a otra región tu rama debe coincidir con una de las ramas de esa otra región.

Por ejemplo, $\sqrt{z}$ tiene una singularidad en el plano, a saber $0$ (otra es $\infty$ ). Dibujar el rayo desde $0$ a $\infty$ . Se obtiene una región. En esta región tienes dos funciones ordinarias, ramas de $\sqrt{z}$ . Al cruzar el corte, se intercambian.