¿Cómo puedo encontrar este límite? $\lim_{\theta \to 0} \theta \sin\left(\frac{1}{\theta}\right)$ ?

Question

$\displaystyle\lim_{\theta \to 0} \theta \sin\left(\frac{1}{\theta}\right)$

Si introduzco el 0, obtengo $0*\sin(\frac{1}{0})$ ¿sería una forma indeterminada? ¿O sería aceptable al ser el límite = 0?

Si es indeterminado, ¿cómo podría reducir y reintentar?

Cuando hago la gráfica, obtengo una línea horizontal en 0, lo que me hace pensar que mi suposición inicial era correcta. Sólo estoy un poco preocupado con la idea de sin(1/0)...

Gracias por los comentarios y las aportaciones.

Answer 1

Mira de cerca tu gráfico cerca de $0$ . Para mi comodidad voy a cambiar la variable de $\theta$ a $x$ . Observará que $x\sin(1/x)$ se menea desesperadamente, pero con una amplitud decreciente, por lo que el límite parece ser $0$ . Para comprobar que la calculadora gráfica o el programa no te engañan (a veces lo hacen), la pista dada por Shai Covo debería ser suficiente.

La razón principal de mi post es advertirle contra el razonamiento que en este caso resultó ser la respuesta correcta.

Mire, en particular, a $x \times \frac{1}{\sin x}$ , como $x$ se acerca a $0$ . Si pones $x=0$ como parecía en su razonamiento, puede pensar que debería obtener una respuesta de $0$ . Sin embargo, $$\lim_{x \to 0} \left(x \times \frac{1}{\sin x}\right)=1$$

Es posible que ya haya visto un argumento para esto, o probablemente para el pariente cercano $(\sin x)/x$ cuando la derivada de $\sin x$ se calculó por primera vez. Informalmente, se puede hacer una verificación parcial graficando $\frac{x}{\sin x}$ (asegúrate de que tu calculadora está en modo radián).

El mismo tipo de razonamiento que produjo la respuesta correcta en un caso, produce la respuesta equivocada en otro. Por tanto, este tipo de razonamiento no es de fiar. Tenemos que utilizar herramientas en las que podamos confiar.

Answer 2

Una pista: $|\theta \sin(1/\theta)| \leq |\theta|$ para todos $\theta \neq 0$ .

Answer 3

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