Resolver $xy'=x^2 + 3y$

Question

Estoy repasando para mi final de Cálculo II y me he topado con una diferencial en la que estoy atascado.

Resuelve la ecuación diferencial: $$xy'=x^2 + 3y, \quad x>0$$

He probado a dividir ambos lados por la x de la izquierda pero entonces el 3y/x se te queda atascado, he probado a restar el 3y pero también me he quedado atascado ahí. Cualquier idea es muy apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Es :

$$xy' = x^2 + 3y \Leftrightarrow y' - \frac{3y}{x} = x$$

Dejemos que $\mu(x) = e^{\int -3/x\mathrm{d}x} = 1/x^3$ sea un factor integrador y multiplique ambos lados de la ecuación por él :

$$\frac{y'}{x^3} - \frac{3y}{x^4}=\frac{1}{x^2} \Leftrightarrow \bigg(\frac{y}{x^3}\bigg)' = \frac{1}{x^2}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$\int \bigg(\frac{y}{x^3}\bigg)'\mathrm{d}x = \int\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x $$

$$\Leftrightarrow$$

$$\frac{y}{x^3} = -\frac{1}{x} + c_1 \Leftrightarrow \boxed{y(x) = x^2(c_1x-1)}$$

También puedes resolverla transformándola en una ecuación exacta, pero esto es muy largo y no es necesario en un escenario tan sencillo.

Answer 2

Añadiendo $2x^2$ a ambos lados obtenemos $$xy'+2x^2=3y+3x^2$$ por lo tanto $$x(y'+2x)=3(y+x^2)$$ lo que significa que $$y+x^2=Cx^3$$ o $$y=Cx^3-x^2$$ para $C>0$