pseudoinverso del operador vec-transpose

Question

Estoy luchando por encontrar la solución de forma cerrada para la pseudoinversa de Moore-Penrose de la siguiente matriz singular:

$$ P + I $$

donde P es una matriz de operadores vec-transpose, definida por:

$$P=\sum_{ij} E_{ij} \otimes E_{ij}^T$$

donde $E_{ij} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ es una matriz de una sola entrada. $P\in \mathbb{R}^{n^2\times n^2}$ es una matriz de permutación y tiene las siguientes propiedades (sea $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ sea alguna matriz):

• $vec(A^T) = P \cdot vec(A)$
• $P = P^T = P^{-1}$
• $P^2 = I$

Lo que tengo hasta ahora es que el problema se reduce a encontrar los vectores propios de $P$ porque son los mismos que los de $P + I$ , por lo que puedo utilizar la fórmula SVD para obtener $(P+I)^+$ .

Answer 1

Lo he descubierto. Definir $M=(P+I)$ . Por definición, un inverso generalizado matriz $A^-$ de una matriz $A$ es una matriz que satisface $AA^-A = A$ . Al observar que $M^n=2^{n-1}M$ y por lo tanto $M^3=4M$ es fácil ver que la matriz $$ M^+=\frac{1}{4}M $$ es efectivamente un inverso generalizado de M. Además, se puede demostrar que también satisface todas las condiciones necesarias para ser un Pseudoinverso de Moore-Penrose .

Answer 2

Esta es otra forma de pensarlo.

Básicamente estás añadiendo una matriz a su transposición, $$f(A) = A + A^T,$$ excepto en formato vectorizado. La vectorización es lineal, por lo que se puede pensar en lo que ocurre igualmente en formato vectorizado o no vectorizado.

El espacio nulo de este mapa son las matrices antisimétricas, mientras que para las matrices simétricas el mapa sólo añade la matriz a sí misma: $$f(A) = \begin{cases} 2A, & A \text{ is symmetric} \\ 0, & A \text{ is anti-symmetric}. \end{cases}$$

El pseudoinverso es el mapa que es la inversa exacta en el espacio donde la matriz es invertible, y cero en el espacio nulo. Esto es, $$f^+(A) = \begin{cases} \frac{1}{2}A, & A \text{ is symmetric} \\ 0, & A \text{ is anti-symmetric}. \end{cases}$$

Utilizando la expansión de cualquier matriz como suma de sus partes simétricas y no simétricas, así como la linealidad de $f^+$ tenemos $$ \begin{align} f^+(A) &= f^+\left(\frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}\right) \\ &= f^+\left(\frac{A + A^T}{2}\right) \\ &= \frac{A + A^T}{4} \end{align} $$

Ahora está claro por qué la versión vectorizada de este mapa es " $\text{vec}(f^+)$ " $ = \frac{I + P}{4}$ .