$ a^2 <10^{\sqrt{a}}$ para $a\geq 2$ .

Question

Cómo mostrar $ a^2 <10^{\sqrt{a}}$ para $a\geq 2 $ y $ a \in \mathbb{N}$ ?

¿Debo intentar considerar una nueva función que sea la diferencia y luego diferenciarla?

Podría resolverlo utilizando dos casos cuando $ a \in [10^{2m}, 10^{2m+1})$ o $[10^{2m-1}, 10^{2m})$ . ¿Hay alguna otra forma elemental?

Se agradecería cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Esta desigualdad equivale a $\ln a < \sqrt{a} \frac{\ln 10}{2}$ por el hecho de que $t \to \ln t$ es estrictamente creciente.

Definir $f(a)=\ln a$ y $g(a)=\sqrt{a} \frac{\ln 10}{2}$ para $a \geq 2$ .

Queremos demostrar que $f(a)<g(a)$ para todos $a \geq 2$ .

Observando que $f'(a)=\frac 1 a \leq \frac {1}{\sqrt{a}}\frac {\ln 10} {4}=g'(a)$ se mantiene si y sólo si $\sqrt{a} \geq \frac{4}{\ln 10}$ , defina $\phi(a)=g(a)-f(a)$ .

Debido al hecho de que $\phi'(a) \geq 0$ si y sólo si $a \geq (\frac{4}{\ln 10})^2$ como hemos observado y que $\phi((\frac{4}{\ln 10})^2)=g((\frac{4}{\ln 10})^2)-f((\frac{4}{\ln 10})^2)=2(1+\ln (\frac {\ln 10}{4})) >0$ tenemos lo que queremos.

Answer 2

Desde entonces, $t \to \ln t$ es estrictamente creciente, equivale a demostrar que $\ln a < \sqrt{a}\cdot \frac{\ln 10}{2}$ .
Definamos $\phi (x) =\sqrt{x}\cdot \frac{\ln 10}{2} - \ln x$ para $x\geq 2$ .
$\phi '(x)= \frac {1}{\sqrt{x}}\frac {\ln 10} {4} - \frac{1}{x}.$ Así que, $\phi '(x) >0 \iff \frac {1}{\sqrt{x}}\frac {\ln 10} {4} > \frac{1}{x} \iff \sqrt{x} > \frac{4}{\ln 10}$
Déjalo, $d= (\frac{4}{\ln 10})^2$
Ahora, para $x > d,$ tenemos $\sqrt{x} > \frac{4}{\ln 10} \implies \phi '(x) >0 \implies \phi $ es estrictamente creciente para $x>d.$
De la misma manera, $\phi$ es estrictamente decreciente para $2 \leq x<d$ es decir $\phi$ alcanza su mínimo en $x=d.$
Por lo tanto, para $x \geq 2,$ tenemos $\phi (x) \geq \phi (d) = 2 -2 \ln (\frac{4}{\ln 10}) >0.$
Esto implica, para $x \geq 2,$ $\phi (x) >0 \implies \sqrt{x} \cdot \frac{\ln 10}{2} > \ln x.$