Una cuestión sobre los subespacios complementados de los espacios de Banach

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio de Banach y $F$ un subespacio complementado de $E$ . Demostrar que si $E= F \oplus M$ y $E=F \oplus N$ entonces $M$ es isomorfo a $N$ .

Mi intento:

Primero necesitamos el lema:

(Teorema del isomorfismo): Si $E$ y $F$ son espacios de Banach y $T \in \mathcal{L}(E,F)$ y $T(E)$ está cerrado en $F$ entonces $T(E)$ es isomorfo a $\frac{E}{Ker(T)}$

Volvamos al problema:

Desde $F$ es un subespacio complementado del espacio de Banach $E$ existe una proyección $P:E \rightarrow E$ cuya imagen $P(E)$ es $F$ por la misma razón $F$ es un subespacio cerrado del espacio de Banach $E$ y es a su vez un espacio de Banach, aplicando el Teorema del Isomorfismo podemos concluir que $F$ es isomorfo a $\frac{E}{kerP}$ .

Mi siguiente objetivo es demostrar que tanto $M$ y $N$ son isomorfas a $KerP$ y luego isomorfas entre sí, pero no sé cómo hacerlo y necesito ayuda.

Answer 1

$\because E=F \bigoplus M,\therefore$ M es isomorfo a E/F por el teorema, también lo es N.