límite de un integrando cuya integral es convergente

Question

Agradecería una pista sobre mi problema:

Si $\int_{1}^{\infty} f(x) \, dx$ converge donde $f$ es continua en $[0,\infty)$ con $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) < \infty$ entonces demuestre que $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = 0$ .

Mi intento: suponer que $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = a$ . A continuación, establezca $\epsilon >0$ . Por definición $\exists \, M > 0 \,\, \text{s.t. } |f(x)-a|<\epsilon \text{ whenever } x>M.$

Así que $a - \epsilon < f(x) < a+ \epsilon \Rightarrow \int_{M}^{\infty} (a - \epsilon) \, dx < \int_{M}^{\infty} f(x) \, dx <\infty$ como $f$ es convergente. Pero para $\int_{M}^{\infty} (a - \epsilon) \, dx < \infty, \,\, a = \epsilon.$

Ahora estoy atascado...

Answer 1

Estás en el camino correcto, puedes continuar:

Si $a-\epsilon>0$ entonces la integral de $M$ a $\infty$ sería el infinito. Por lo tanto, ya se deduce que $a\le\epsilon\ $ para todos $\epsilon>0$ . Por lo tanto, si $a\ge 0$ se asumió que estamos preparados.

Para el caso $a<0$ podemos utilizarlo para $-f$ y $-a$ .