Pregunta sobre la prueba de que una unión contable de conjuntos contables es contable

Question

¿Puede alguien explicarme un poco sobre el Hence

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2.12 Teorema

Dejemos que $\{E_n\}$ , donde $n=1,2,3,...$ sea una secuencia de conjuntos contables, y ponga

$S=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}E_n$ .

Entonces $S$ es contable.

Prueba

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Que cada conjunto $E_n$ estar dispuestos en una secuencia $\left\{x_{\text{nk}}\right\},k=1,2,3,\text{...},$

y considerar el conjunto infinito

(16)

en la que los elementos de $E_n$ forman la enésima fila.

La matriz contiene todos los elementos de $S$ . Como indican las flechas, estos elementos pueden disponerse en una secuencia

(17) $x_{11};x_{21},x_{12};x_{31},x_{22},x_{13};x_{41},x_{32},x_{23},x_{14};\text{...}$

Frase 1 Si dos conjuntos cualesquiera $E_n$ tienen elementos en común, éstos aparecerán más de una vez en (17).

Frase 2 Por lo tanto, existe un subconjunto $T$ del conjunto de todos los enteros positivos tales que $S\sim T$ lo que demuestra que $S$ es como máximo contable. Como $E_1\subset S$ y $E_1$ es infinito, $S$ es infinito y, por tanto, contable.

Problema : ¿Cuál es la relación entre la frase 1 y la frase 2?

Answer 1

Cuando queremos demostrar que un conjunto es contable, producimos un inyección de dicho conjunto a $\Bbb N$ . Dado que los elementos pueden repetirse en $(17)$ El autor quiere evitar esto para que el mapa sea realmente una inyección. Como aquí parece que contable significa "contablemente infinito", la construcción produce una biyección: ya tenemos una sobreyección porque sabemos que los conjuntos son contablemente infinitos para empezar, la supresión de las entradas repetidas produce la biyección deseada.

Answer 2

(17) está dando una secuencia en $S$ tal que cada elemento de $S$ aparece al menos una vez como término de la secuencia. Esto puede verse como una función suryectiva $f: \mathbb{Z}^+ \rightarrow S$ . Para obtener una biyección, a partir de $1$ y trabajando hacia arriba podemos simplemente eliminar del dominio cada entero positivo $n$ tal que $f(n) = f(m)$ para algunos $m < n$ . Esto da una biyección: $f: T \subset \mathbb{Z}^+ \rightarrow S$ .

Answer 3

Podría haberse expresado un poco más claramente; permítanme ampliarlo un poco. $(17)$ debe entenderse que presenta esta correspondencia con el conjunto de enteros positivos:

$$\begin{array}{rcc} \Bbb Z^+:&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&\ldots\\ S:&x_{11}&x_{21}&x_{12}&x_{31}&x_{22}&x_{13}&x_{41}&x_{32}&x_{23}&x_{14}&x_{51}&\ldots \end{array}$$

El problema es que algunas de las entradas del $S$ pueden ser idénticos; por ejemplo, podría ser que $x_{12}=x_{23}$ y $x_{11}=x_{22}=x_{32}$ . En ese caso la correspondencia no es una biyección entre $\Bbb Z^+$ y $S$ . Sin embargo, podemos tachar cualquier duplicado en la línea inferior, dejando algo como esto, por ejemplo:

$$\begin{array}{rcc} T:&1&2&3&4&\bullet&6&7&\bullet&\bullet&10&11&\ldots\\ S:&x_{11}&x_{21}&x_{12}&x_{31}&\bullet&x_{13}&x_{41}&\bullet&\bullet&x_{14}&x_{51}&\ldots \end{array}$$

(He sustituido los elementos eliminados por viñetas para mayor claridad visual; de hecho, los elementos eliminados simplemente han desaparecido). Ahora tenemos una biyección entre los dos conjuntos que quedan. En la línea inferior seguimos teniendo el conjunto $S$ ya que sólo sacamos ejemplares de más. En la línea superior tenemos algún subconjunto $T$ de $\Bbb Z^+$ .

El Por lo tanto, en la frase $2$ en realidad se refiere a que aunque no tengamos una biyección de $S$ con $\Bbb Z^+$ tenemos uno con un subconjunto $T$ de $\Bbb Z^+$ . Es la existencia de $T$ y el hecho de que sólo puede ser un subconjunto de $\Bbb Z^+$ que se desprenden de la frase anterior, como indica por lo que .