Probabilidad de ver/probar algo

Question

Hipotéticamente mi casero dice que nunca me ve ventilando mi apartamento, supuestamente dice que fue un día entre las 08:00 y las 20:00 al azar 6 veces espiarme si una de mis ventanas está abierta cada sesión que está mirando mis ventanas durante digamos alrededor de 1 minuto supongamos que hay un retraso mínimo entre cada sesión de alrededor de 20 minutos. ahora afirmo que abro mis ventanas al azar durante unos 15 minutos 2 veces al día entre 04:00 y 23:00 con un retraso mínimo de 3 horas.

Así que la pregunta sería ¿cuántos días necesitaría el propietario para demostrar sin duda (80%) que nunca he abierto mis ventanas y cuántos días necesitaría para pillar una ventana abierta si mi afirmación es correcta.

Answer 1

Probemos esto. X es un rv geométrico si es el número de ensayos hasta que vemos un éxito. Digamos que cada día es un ensayo, y digamos que el que te vea abrir una ventana es un éxito. Así que todo lo que tenemos que determinar es la probabilidad de que él vea una ventana abierta en un día determinado.

A efectos prácticos, el problema tiene demasiadas restricciones como para hacerlo de forma analítica. Pero escribí una simulación rápida para el problema y lo ejecuté 25.000 veces, estoy encontrando que la probabilidad de que las ventanas de tiempo se superponen es aproximadamente 0,16. Ahora vamos a responder a sus preguntas.

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Pregunta 1

Tenemos que pensar en lo que nos pide y en cómo podemos responder con estadísticas. Supongamos que estás diciendo la verdad, entonces hay un 82,5% de posibilidades de que te vea con una ventana abierta en los primeros 10 días.

$P(X > 10) = 1 - F_X(10) = 1 - (1 - (.84)^{10}) = 0.84^{10} = 0.1749$

Así que si pasa más de 10 días sin ver tu ventana abierta, puede estar seguro en un 82,5% de que no le estás diciendo la verdad.

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Pregunta 2

El valor esperado de una distribución geométrica es 1/p. Así que de media tardaría unos 6,25 días en verte con una ventana abierta.

Aunque para esta distribución, prefiero la mediana, que aquí es de 3,97. Esto nos dice que el 50% de las veces, te verá con una ventana abierta antes de que pasen 4 días.

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