Isomorfismo - producto de ideales

Question

Si $A$ y $B$ son dos anillos, y $\alpha$ es un ideal de A y $\beta$ es un ideal de B, entonces $\alpha \times \beta $ es un ideal de $A \times B$ .

Tengo que demostrar que $A \times B / \alpha \times \beta $ es isomorfo a $A/\alpha \times B/\beta$ .

Supongo que tengo que usar el primer teorema de isomorfismo. Para aplicar esto,

He definido el siguiente homomorfismo de anillo:

$\phi: A \times B \to A/\alpha \times B/\beta $

$(a, b) \to (a+\alpha, b+\alpha)$

¿Cómo puedo demostrar que $Im \phi=A/\alpha\times B/\beta$ ??

Gracias

Answer 1

Tu idea es correcta, ¡sólo tienes que pasar por el control de las cosas!

Pista 1: Obviamente, $Im\phi\subseteq A/\alpha\times B/\beta$ . Este es un elemento arbitrario de $A/\alpha\times B/\beta$ : $(x+\alpha,y+\beta)$ . ¿Puede decirme algo en $A\times B$ que lo mapea? Si es así, has demostrado que $A/\alpha\times B/\beta\subseteq Im(\phi)$ .

Sugerencia 2: Tome un $(a,b)\in A\times B$ en el núcleo de $\phi$ . El elemento cero de $A/\alpha\times B/\beta$ es el par de cosets $(0+\alpha,0+\beta)$ . Entonces $\phi(a,b)=(a+\alpha,b+\beta)=(0+\alpha,0+\beta)$ . Estos pares son iguales sólo si sus coorinadas son iguales, por lo que actualmente se encuentra en $a+\alpha=0+\alpha$ y $b+\beta=0+\beta$ . Usted esperanza que $a\in \alpha$ y $b\in \beta$ . ¿Puede ver si esto es cierto o no aquí?