Media prueba para demostrar que los números racionales son densos en los reales

Question

Pregunta

Hice el ejercicio 2.15 en introducción al análisis real por Lee Larson:

Demuestre lo siguiente como corolario del teorema 2.19:

$\forall a, b \in \mathbb{R}: a < b \implies (a, b) \cap \mathbb{Q} \ne \emptyset $

He dividido la prueba en 3 casos:

• $a$ no es racional,
• $b$ no es racional, y
• ambos $a$ y $b$ son racionales.

¿Hay una forma más sencilla?

---

Teorema 2.19a

Dejemos que $\mathbb{F}$ sea un campo ordenado, $A \subset \mathbb{F}$ , $\alpha \in \mathbb{F}$ .

$\alpha$ es el límite mínimo superior (lub) de $A$ si:

• $(\alpha, \infty) \cap A = \emptyset$ y
• $\forall \varepsilon > 0: (\alpha - \varepsilon, \alpha] \cap A \ne \emptyset$

Teorema 2.19b

De la misma manera, $\alpha$ es el mayor límite inferior (glb) de $A$ si:

• $(-\infty, \alpha) \cap A = \emptyset$ y
• $\forall \varepsilon > 0: (\alpha, \alpha + \varepsilon] \cap A \ne \emptyset$

---

Intento de probar

Dejemos que $\mathbb{F} = \mathbb{R}$ y $A = \mathbb{Q}$ .

Creo que $b$ es el límite superior mínimo de $(a, b)$ . Esto significa que $\alpha = b$ .

Por el teorema 2.19a, obtengo $\forall \varepsilon > 0: (b - \varepsilon, b] \cap \mathbb{Q} \ne \emptyset$ .

Elija $\varepsilon = b - a$ que es mayor que 0.

Entonces, $(a, b] \cap \mathbb{Q} \ne \emptyset$ . Por lo tanto, si $b \notin \mathbb{Q}$ , $(a, b) \cap \mathbb{Q} \ne \emptyset$ .

De la misma manera, $[a, b) \cap \mathbb{Q} \ne \emptyset$ por el teorema 2.19b. Por lo tanto, si $a \notin \mathbb{Q}$ , $(a, b) \cap \mathbb{Q} \ne \emptyset$ .

Si $a \in \mathbb{Q}$ y $b \in \mathbb{Q}$ , $(a + b) / 2$ es un número racional entre $a$ y $b$ .

Answer 1

Su prueba no parece correcta. En tu aplicación del Teorema 2.19, ¿cuál es el conjunto " $A$ " (como en el enunciado del Teorema 2.19) que estás utilizando? ¿Se trata de $\mathbb{Q}$ ? ¿Es así? $(a,b)\cap\mathbb{Q}$ ?

En su prueba, ¿qué es " $\alpha$ "? ¿Lo defines como el supremum de $(a,b)$ o de $(a,b)\cap\mathbb{Q}$ ?

Esta aplicación del Teorema 2.19 no es correcta, y como el resto de tu demostración se basa en ella...

---

Tu planteamiento de "seguir el libro al pie de la letra" es bastante bueno, en mi opinión, para cogerle el tranquillo a las pruebas y a las "matemáticas puras", aunque te lleve tiempo.

La idea para la solución debería ser la siguiente: Los números racionales son números de la forma $k/n$ , donde $k$ es un número entero y $n$ es natural. Si fijamos $n$ y mira todos los valores posibles para $k$ obtenemos el conjunto $\left\{\ldots,-2/n,-1/n,0,1/n,2/n,\ldots\right\}$ que esencialmente "divide" la línea real en un montón de intervalos de diámetro $1/n$ . Si $n$ es muy grande, entonces $1/n$ es muy pequeño, por lo que cualquier número real estará en uno de esos intervalos $[k/n,(k+1)/n]$ y, por tanto, a distancia $\leq 1/n$ de $k/n$ .

Por lo tanto, debemos precisar este proceso intuitivo, aproximando cualquiera de los dos extremos ( $a$ o $b$ ) del intervalo $(a,b)$ a algún número de la forma $k/n$ . Más concretamente, dejar que $n$ muy grande, tratamos de encontrar el número $k/n$ que "está más cerca de $a$ y mayor a $a$ ", y esperar que sea al mismo tiempo menor que $b$ .

---

Aquí está el esquema general de la solución que escribí a esta misma pregunta hace mucho tiempo (en mi primer examen de Cálculo), que formaliza la idea anterior:

• En primer lugar, recordemos el "principio del mínimo elemento": Todo subconjunto no vacío de los números naturales, $\mathbb{N}=\left\{1,2,\ldots\right\}$ tiene un mínimo. (Si es realmente formal, probablemente esté utilizando la siguiente definición: El conjunto de números naturales de un campo $F$ es "la intersección de todos los subconjuntos $A$ de $F$ que contienen $1$ y que satisfacen la siguiente propiedad: si $a\in A$ entonces $a+1\in A$ también").

• Ahora recuerda que como consecuencia, $\mathbb{N}$ no tiene límites en $\mathbb{R}$ .

• De forma equivalente, para cada $\varepsilon>0$ existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $0<1/n<\varepsilon$ .

• Primero asuma $a\geq 0$ . Usando el artículo anterior, hay $n$ tal que $0<1/n<b-a$ . Utilizando el Principio del Mínimo Elemento y la no limitación de $\mathbb{N}$ , elija el más pequeño $k$ tal que $na<k$ Así que $a<k/n$ . Por la minimidad de $k$ , $k-1\leq na$ Así que $k/n\leq a+1/n<a+(b-a)=b$ . De ello se desprende que $a<k/n<b$ .

• En general, el uso de la no limitación de $\mathbb{N}$ , dejemos que $N$ sea un número natural mayor que $\max(|a|,|b|)$ . Entonces $0\leq N+a<N+b$ . Por el caso anterior, hay un racional $x$ con $N+a<x<N+b$ Así que $x-N$ también es racional y $a<x-N<b$ .