Sobre el cálculo de álgebras sigma generadas por funciones específicas.

Question

Empecé (¡de nuevo!) con la intención de construir un ejemplo interesante de cálculo de la expectativa condicional con respecto a $\sigma(X) $ cuando $X $ no es una función escalonada. Mi primer ejemplo, eligiendo $\Omega = [-1, 1], $ ${\cal F} = {\cal B}(\Omega), $ y $P = (1/2)\lambda $ con $X: \Omega \mapsto R: \omega \mapsto \omega^2 $ o $|\omega | $ funcionó bien, ya que $\sigma(X) = \{A \in {\cal B}(\Omega): A= -A\}. $
Cuando intenté tener una función que no es simétrica, digamos $Y(\omega) = -\omega\cdot I_{[-1, 0]}(\omega) + 2\omega \cdot I_{[0, 1]}(\omega), $ no hay tanta suerte. Ahora, puedo ver la estructura general de $\sigma(Y), $ pero no puede escribirlo de forma elegante: Veo que los intervalos como $(a, b) $ con $a= -1/2*b $ debe formar parte de $\sigma(Y), $ si $b > 0, $ pero esperaba obtener una expresión elegante como en el caso de $\sigma(X) $ arriba. ¿Es posible?

Gracias.

Maurice

Answer 1

En primer lugar, para cualquier $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ , $$ X^{-1}(B)=X^{-1}(B\cap[0,1])\cup X^{-1}(B\cap(1,2])\equiv C_1\cup C_2. $$ Observe que $C_1\cap C_2=\emptyset$ , $C_2=\emptyset$ o $C_2\subseteq(1/2,1]$ y $C_1$ es "simétrico" alrededor de $0$ en el siguiente sentido: si $C_1^+\equiv C_1\cap [0,1/2]$ y $C_1^-\equiv C_1\cap [-1,0)$ entonces $C_1^-=-2C_1^+$ .

Para una variable aleatoria integrable $Y$ la expectativa condicional $\mathsf{E}[Y\mid \sigma(X)]=Z(\omega)$ , donde \begin{align} Z(\omega)&:=Y(\omega)1_{(1/2,1]}(\omega)+\frac{Y(\omega)+Y(-2\omega)}{2}1_{[0,1/2]}(\omega)\\ &\quad+\frac{Y(\omega)+Y(-\omega/2)}{2}1_{[-1,0)}(\omega). \end{align}